【題目】已知點為平面內(nèi)一定點,動點為平面內(nèi)曲線上的任意一點,且滿足,過原點的直線交曲線于兩點.
(1)證明:直線與直線的斜率之積為定值;
(2)設(shè)直線,交直線于、兩點,求線段長度的最小值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)由題意可知點的軌跡是以,為焦點的橢圓,設(shè),則,可得,利用點在橢圓上可得定值;
(2)由(1)可設(shè)直線:,則直線:,分別求出、的坐標(biāo),表示線段長度,利用均值不等式求最值即可.
(1)設(shè),,
由題意可知,且,
所以,點的軌跡是以,為焦點的橢圓,且長軸長為4,焦距為,
即,,,
所以,曲線的軌跡方程為.
由已知兩點關(guān)于原點對稱,不妨設(shè),則,
所以,,
又因為,點在曲線上,所以,,解得,,
所以,,
所以,直線與直線的斜率之積為定值.
(2)由第(1)可得,,
所以,不妨設(shè)直線:,則直線:,
將分別代入直線,直線的方程得,,,
,
因為,,所以,,
當(dāng)且僅當(dāng),即時,取得最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)的一種,現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個,甲、乙、丙三位同學(xué)依次選一個作為禮物,甲同學(xué)喜歡牛、馬和羊,乙同學(xué)喜歡牛、兔、狗和羊,丙同學(xué)哪個吉祥物都喜歡,則讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意的概率是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若,求證:當(dāng)時,;
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在矩形中,為邊的中點,將沿直線折起到(平面)的位置,為線段的中點.
(1)求證:平面;
(2)已知,當(dāng)平面平面時,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,平面為正三角形, 側(cè)面是邊長為的正方形,為的中點.
(1)求證平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點為,上頂點為,直線的斜率為,且原點到直線的距離為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若不經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點,且與圓相切.試探究的周長是否為定值,若是,求出定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高新企業(yè)自2012年成立以來,不斷創(chuàng)新技術(shù)與產(chǎn)品,積極拓展市場,銷售收入(單位萬元)與年份代號之間對應(yīng)關(guān)系如下表,且滿足回歸函數(shù),記。
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
銷售收入 | 80 | 199 | 398 | 2512 | 6310 | 15848 | 79432 |
1.9 | 2.3 | 2.6 | 3.4 | 3.8 | 4.2 | 4.9 |
(1)任取2年對比銷售收入的情況,求這2年中銷售收入均超過400萬元的概率;
(2)求回歸函數(shù)中的值。
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為
,
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