【題目】已知點
為平面內一定點，動點
為平面內曲線
上的任意一點，且滿足
，過原點的直線交曲線于
兩點.
（1）證明：直線
與直線
的斜率之積為定值；
（2）設直線，交直線
于
、
兩點，求線段
長度的最小值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）由題意可知點
的軌跡是以
，
為焦點的橢圓，設
，則
，可得
，利用點在橢圓上可得定值；
（2）由（1）可設直線
：
，則直線
：
，分別求出
、
的坐標，表示線段
長度，利用均值不等式求最值即可.
（1）設
，
，
由題意可知
，且
，
所以，點的軌跡是以，為焦點的橢圓，且長軸長為4，焦距為
，
即
，
，
，
所以，曲線
的軌跡方程為
.
由已知
兩點關于原點對稱，不妨設，則，
所以，，
又因為，點
在曲線上，所以，
，解得，
，
所以，
，
所以，直線與直線的斜率之積為定值
.
（2）由第（1）可得，
，
所以，不妨設直線：，則直線：，
將
分別代入直線，直線的方程得，
，
，
，
因為，
，所以，
，
當且僅當
，即
時，取得最小值.
階梯計算系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，甲、乙、丙三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡牛、馬和羊，乙同學喜歡牛、兔、狗和羊，丙同學哪個吉祥物都喜歡，則讓三位同學選取的禮物都滿意的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知在矩形
中，
為邊
的中點，將
沿直線
折起到
（
平面）的位置，
為線段
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）已知
，當平面
平面時，求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖,在三棱柱
中,
平面
為正三角形, 側面
是邊長為
的正方形,
為
的中點.
（1）求證
平面
;
（2）求二面角
的余弦值;
（3）試判斷直線
與平面的位置關系,并加以證明.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右焦點為
，上頂點為
，直線
的斜率為
，且原點到直線的距離為
.
(1)求橢圓
的標準方程；
(2)若不經(jīng)過點的直線
與橢圓交于
兩點，且與圓
相切.試探究
的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某高新企業(yè)自2012年成立以來，不斷創(chuàng)新技術與產(chǎn)品，積極拓展市場，銷售收入
（單位萬元）與年份代號
之間對應關系如下表，且滿足回歸函數(shù)
，記
。
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
銷售收入 | 80 | 199 | 398 | 2512 | 6310 | 15848 | 79432 |
| 1.9 | 2.3 | 2.6 | 3.4 | 3.8 | 4.2 | 4.9 |
（1）任取2年對比銷售收入的情況，求這2年中銷售收入均超過400萬元的概率；
（2）求回歸函數(shù)中
的值。
附：對于一組數(shù)據(jù)
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
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