橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若橢圓C上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P,使得△F1F2P為等腰三角形,則橢圓C的離心率的取值范圍是(  )
A.(
1
3
2
3
)
B.(
1
2
,1)
C.(
2
3
,1)
D.(
1
3
1
2
)∪(
1
2
,1)
①當(dāng)點(diǎn)P與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí),
△F1F2P構(gòu)成以F1F2為底邊的等腰三角形,
此種情況有2個(gè)滿足條件的等腰△F1F2P;
②當(dāng)△F1F2P構(gòu)成以F1F2為一腰的等腰三角形時(shí),
以F2P作為等腰三角形的底邊為例,
∵F1F2=F1P,
∴點(diǎn)P在以F1為圓心,半徑為焦距2c的圓上
因此,當(dāng)以F1為圓心,半徑為2c的圓與橢圓C有2交點(diǎn)時(shí),
存在2個(gè)滿足條件的等腰△F1F2P,
此時(shí)a-c<2c,解得a<3c,所以離心率e
1
3

當(dāng)e=
1
2
時(shí),△F1F2P是等邊三角形,與①中的三角形重復(fù),故e≠
1
2

同理,當(dāng)F1P為等腰三角形的底邊時(shí),在e
1
3
且e≠
1
2
時(shí)也存在2個(gè)滿足條件的等腰△F1F2P
這樣,總共有6個(gè)不同的點(diǎn)P使得△F1F2P為等腰三角形
綜上所述,離心率的取值范圍是:e∈(
1
3
,
1
2
)∪(
1
2
,1)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(理)已知F1,F(xiàn)2是橢圓
x2
100
+
y2
64
=1
的焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),且F1PF2=
π
3
,求△F1PF2的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點(diǎn),若該橢圓上一點(diǎn)P滿足|PF2|=|F1F2|,且以原點(diǎn)O為圓心,以b為半徑的圓與直線PF1有公共點(diǎn),則該橢圓離心率e的取值范圍是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)F到過(guò)頂點(diǎn)A(-a,0)、B(0,b)的直線的距離等于
7
7
b
,則橢圓的離心率為( 。
A.
1
2
B.
4
5
C.
7-
7
6
D.
7
7

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

如圖所示,設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的面積為abπ,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l、x軸正半軸及橢圓圍成兩區(qū)域面積分別設(shè)為s、t,則s關(guān)于t的函數(shù)圖象大致形狀為圖中的(  )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一個(gè)焦點(diǎn)重合,它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)的交點(diǎn)為T,且TF與x軸垂直,則橢圓的離心率為( 。
A.
3
-
2
B.
2
-1
C.
1
2
D.
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

橢圓有一個(gè)焦點(diǎn)固定,并通過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn),且該焦點(diǎn)到這兩個(gè)定點(diǎn)不等距.則該橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡類型是( 。
A.橢圓型B.雙曲線型
C.拋物線型D.非圓錐曲線型

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

如果橢圓
x2
36
+
y2
9
=1
的弦被點(diǎn)(4,-2)平分,則這條弦所在的直線方程是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),|AB|=4,則C的實(shí)軸長(zhǎng)為(  )
A.B.2C.4D.8

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同步練習(xí)冊(cè)答案