曲線y=2+
3+2x-x2
與直線y=k(x-1)+5有兩個不同交點時,實數(shù)k的取值范圍是
(
5
2
3
2
]∪[-
3
2
,-
5
2
)
(
5
2
3
2
]∪[-
3
2
,-
5
2
)
分析:由題意可得,曲線表示一個半圓,直線過定點M(1,5),先求出切線MD、ME的斜率,再求出MA、MB的斜率,數(shù)形結(jié)合可得曲線與半圓有兩個不同交點時,實數(shù)k的取值范圍.
解答:解:曲線y=2+
3+2x-x2
,即 (x-1)2+(y-2)2=4,(y≥2),表示一個半圓.
直線y=k(x-1)+5=kx+5-k 過定點M(1,5),如圖所示:
A(-1,2)、B(3,2).
當直線和半圓相切時,則圓心C(1,2)到直線kx-y+5-k=0的
距離等于半徑,即
|k-2+5-k|
k2+1
=2,
解得 k=±
5
2
,即切線MD的斜率為
5
2
,切線ME的斜率為-
5
2

由于MA的斜率為
5-2
1+1
=
3
2
,MB的斜率等于
5-2
1-3
=-
3
2

數(shù)形結(jié)合可得,當直線和半圓有兩個不同交點時,實數(shù)k的取值范圍是 (
5
2
3
2
]∪[-
3
2
,-
5
2
)

故答案為 (
5
2
,
3
2
]∪[-
3
2
,-
5
2
)
點評:本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì),直線過定點問題,直線的斜率公式的應用,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,
屬于中檔題.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

曲線y=x2+3在點(1,4)處的切線方程為
2x-y+2=0
2x-y+2=0

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

①函數(shù)y=
x2-1
+
1-x2
是偶函數(shù),但不是奇函數(shù).
②函數(shù)f(x)的定義域為[-2,4],則函數(shù)f(2x-4)的定義域是[1,4].
③函數(shù)f(x)的值域是[-2,2],則函數(shù)f(x+1)的值域為[-3,1].
④設函數(shù)y=f(x)定義域為R且滿足f(1-x)=f(x+1)則它的圖象關于y軸對稱.
⑤一條曲線y=|2-x2|和直線y=a(a∈R)的公共點個數(shù)是m,則m的值不可能是1.其中正確序號是
②⑤
②⑤

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

給出下列四個命題:
①函數(shù)y=2cos2(x+
π
6
)的圖象可由曲線y=1+cos2x向左平移
π
3
個單位得到;
②函數(shù)y=sin(x+
π
4
)+cos(x+
π
4
)是偶函數(shù);
③直線x=
π
8
是曲線y=sin(2x+
4
)的一條對稱軸;
④函數(shù)y=2sin2(x+
π
3
)的最小正周期是2π.
其中不正確命題的序號是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

曲線y=cos(2x-
π
6
)的對稱中心不可能是(  )
A、(-
6
,0)
B、(-
3
,0)
C、(
π
3
,0)
D、(-
3
,0)

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