Question

【題目】如圖，在四棱錐 中，已知 ， ， 底面 ，且 ， ， 為 的中點(diǎn)， 在 上，且 .

（1）求證：平面 平面 ；
（2）求證： 平面 ；
（3）求三棱錐 的體積.

Answer 1

【答案】
（1）解: 證明：∵ 底面 ， 底面 ，故 ；

又 ， ，因此 平面 ，又 平面 ，因此平面 平面

（2）解: 證明：取 的中點(diǎn) ，連接 ，

則 ，且 ，又 ，故 .又 ， ， ，又 .

∴ ， ，且 ，故四邊形 為平行四邊形，∴ ，又 平面 ， 平面 ，故 平面 .

（3）解: 由 底面 ，∴ 的長就是三棱錐 的高， .又 ，

故

【解析】(1)根據(jù)已知條件的線面垂直的性質(zhì)定理可得出P A ⊥ C D ，再結(jié)合線面垂直的判定定理可得到 C D ⊥ 平面 P A D 進(jìn)而得到平面P A D ⊥ 平面 PDC.(2)由題意作出輔助線根據(jù)已知可得 M E / / C D ，再結(jié)合已知條件得出ME=進(jìn)而可得出 C D / / A B借助邊之間的長度關(guān)系可得 M E / / A N ，且 M E = A N，得出四邊形 M E A N 為平行四邊形，利用邊的平行關(guān)系結(jié)合線面平行的判定定理得出 M N / / 平面 P A D 。(3)由題意利用轉(zhuǎn)換三棱錐的頂點(diǎn)把三角形BDC做為底面由已知P A = 1，借助三棱錐的體積公式代入數(shù)值求出結(jié)果。