如果項(xiàng)數(shù)均為的兩個(gè)數(shù)列滿足且集合,則稱數(shù)列是一對(duì)“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”.
(Ⅰ)設(shè)是一對(duì)“4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”,求和的值,并寫出一對(duì)“項(xiàng)相
關(guān)數(shù)列”;
(Ⅱ)是否存在“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”?若存在,試寫出一對(duì);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(Ⅲ)對(duì)于確定的,若存在“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”,試證明符合條件的“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對(duì).
(Ⅰ);;:8,4,6,5;:7,2,3,1;(Ⅱ)不存在,理由見解析;(Ⅲ)證明見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)依題意有,,以及,求得以及的值,寫出符合條件的數(shù)列即可,答案不唯一;(Ⅱ)先假設(shè)存在,利用反證法證明得出矛盾,即可證明滿足已知條件的“10項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”不存在.依題意有,以及成立,解出與已知矛盾,即證;(Ⅲ)對(duì)于確定的,任取一對(duì)“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”,構(gòu)造新數(shù)對(duì),
,則可證明新數(shù)對(duì)也是“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”,但是數(shù)列與是不同的數(shù)列,可知“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”都是成對(duì)對(duì)應(yīng)出現(xiàn)的,即符合條件的 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對(duì).
試題解析:(Ⅰ)依題意,,相加得,
,又,
則,.
“4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”:8,4,6,5;:7,2,3,1(不唯一)3分
(Ⅱ)不存在.
理由如下:假設(shè)存在 “15項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”,
則,相加,得
又由已知,由此
,顯然不可能,所以假設(shè)不成立。
從而不存在 “15項(xiàng)相關(guān)數(shù)列” 7分
(Ⅲ)對(duì)于確定的,任取一對(duì) “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”,
令,,
先證也必為 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列” .
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/97/0/0vff9.png" style="vertical-align:middle;" />
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f2/d/eywj52.png" style="vertical-align:middle;" />,很顯然有:
所以也必為 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”.
再證數(shù)列與是不同的數(shù)列.
假設(shè)與相同,則的第二項(xiàng),又,則,即,顯然矛盾.
從而,符合條件的“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對(duì). 13分
考點(diǎn):1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式;2.反證法及其應(yīng)用
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知數(shù)列中,且點(diǎn)在直線上。
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若函數(shù)求函數(shù)的最小值;
(3)設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和.試問:是否存在關(guān)于的整式,使得
對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)恒成立?若存在,寫出的解析式,并加以證明;若不存在,試說明理由。
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已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公差d≠0,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
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已知等差數(shù)列的首項(xiàng),公差.且分別是等比數(shù)列的.
(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列對(duì)任意自然數(shù)均有成立,求的值.
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設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù),,若數(shù)列滿足,,其中為正常數(shù),且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在正整數(shù),使得當(dāng)時(shí),恒成立?若存在,求出使結(jié)論成立的的取值范圍和相應(yīng)的的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)若,設(shè)數(shù)列對(duì)任意的,都有成立,問數(shù)列是不是等比數(shù)列?若是,請(qǐng)求出其通項(xiàng)公式;若不是,請(qǐng)說明理由.
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已知等差數(shù)列滿足:,的前n項(xiàng)和為.
(1)求及;
(2)已知數(shù)列的第n項(xiàng)為,若成等差數(shù)列,且,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和.求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,公差,且,成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)是首項(xiàng)為1公比為3 的等比數(shù)列,求數(shù)列前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列滿足:,.的前n項(xiàng)和為.
(Ⅰ)求 及;
(Ⅱ)若 ,(),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列的前六項(xiàng)和為60,且 的等比中項(xiàng).
(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(II)若數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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