Question

設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)，，若數(shù)列滿足，，其中為正常數(shù)，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒成立？若存在，求出使結(jié)論成立的的取值范圍和相應(yīng)的的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若，設(shè)數(shù)列對(duì)任意的，都有成立，問數(shù)列是不是等比數(shù)列？若是，請(qǐng)求出其通項(xiàng)公式；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）．

解析試題分析：（1）由條件可知，數(shù)列為等差數(shù)列，又知，其通項(xiàng)公式易求，再根根據(jù)數(shù)列與數(shù)列的關(guān)系，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）中所求的數(shù)列的通項(xiàng)公式，可對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再對(duì)其考察；（3）當(dāng)時(shí)，結(jié)合（1）的結(jié)果，可求出，代入中，設(shè)法對(duì)其變形處理，找到的遞推關(guān)系再進(jìn)行判斷.
試題解析：
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7b/2/1zeav2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，又，所以，          2分
故由，得.                     4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7b/5/7c8gx.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
又，所以，                                  6分
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，解得，不符合題意；   7分
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，解得或.                8分
綜上所述，當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)使得恒成立，且的最小值為4.
9分
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cc/4/rsv5t1.png" style="vertical-align:middle;" />，由（1）得，
所以       ①，
則    ②，
由②①，得                 ③， 12分
所以                   ④，
再由④③，得，即，
所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列成等比數(shù)列，                          15分
又由①式，可得，，則，所以數(shù)列一定是等比數(shù)列，且.
16分
（說明：若第（3）小題學(xué)生由前幾項(xiàng)猜出等比數(shù)列，再代回驗(yàn)證的，扣3分）
考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列.