Question

4．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{10}}{2}$，且過點(diǎn)（2，$\sqrt{3}$），則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$
• D． x²-y²=1

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的離心率以及過點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：∵雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，即c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，則b²=c²-a²=$\frac{10}{4}$a²-a²=$\frac{3}{2}$a²，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{\frac{3{a}^{2}}{2}}$=1，
∵雙曲線過點(diǎn)（2，$\sqrt{3}$），
∴$\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{6}{3{a}^{2}}$=1，即$\frac{2}{{a}^{2}}$=1，
得a²=2，b²=3，
則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)條件建立方程關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．