如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）若∠PAD=45°，求證：MN⊥平面PCD．
（1）證明：取PD中點(diǎn)E，連結(jié)AE，EN，則有EN 平行且等于
1
2
CD，AM平行且等于
1
2
CD，
故有 EN和 AM平行且相等，∴AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE．
又AE?平面PAD，而 MN不在平面PAD內(nèi)，所以MN∥平面PAD．-------（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PA⊥AD．
又∠PDA=45°，∴△PAD為等腰直角三角形．
又E是PD中點(diǎn)，∴AE⊥PD，又AE∥MN，∴MN⊥PD．
又ABCD為矩形，∴AB⊥AD．
又AB⊥PA，AD∩PA=A，∴AB⊥平面PAD．
∵AE?平面PAD，AB⊥AE，又AB∥CD，AE∥MN，∴MN⊥CD．
又∵PD∩CD=D，∴MN⊥平面PCD．…（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

一個(gè)四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面展開圖如圖所示．SC為四棱錐中最長(zhǎng)的側(cè)棱，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)
（1）畫出四棱錐S-ABCD的示意圖，求二面角E-SC-D的大小；
（2）求點(diǎn)D到平面SEC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中E、F分別在A1D、AC上，且A1E=
2
3
A1D，AF=
1
3
AC，則（　�。�
A．EF至多與A1D、AC之一垂直
B．EF是A1D、AC的公垂線
C．EF與BD1相交
D．EF與BD1異面

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖是某直三棱柱ABC-DPQ被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖．在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)．側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．
（1）求證：EM∥平面ABC；
（2）求出該幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)，AC與BD的交點(diǎn)為O．求證：
（1）直線OE∥平面PBC；
（2）平面ACE⊥平面PBD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4，E為PA的中點(diǎn)．
（1）如圖，若正視方向與AD平行，請(qǐng)?jiān)谙旅妫ù痤}區(qū)）方框內(nèi)作出該幾何體的正視圖并求出正視圖面積；
（2）證明：DE∥平面PBC；
（3）求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB∥DC，AD=CD=
1
2
AB，且O為AB中點(diǎn)．
（I）求證：BC∥平面POD；
（II）求證：AC⊥PD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=
2
，AA′=1，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱錐A′-MNC的體積．
（椎體體積公式V=
1
3
Sh，其中S為地面面積，h為高）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=3，D為C1B的中點(diǎn)，P為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，證明DP∥平面ACC1A1；
（Ⅱ）若AP=3PB，求三棱錐B-CDP的體積．

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同步練習(xí)冊(cè)答案