Question

如圖是某直三棱柱ABC-DPQ被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖．在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)．側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．
（1）求證：EM∥平面ABC；
（2）求出該幾何體的體積．

Answer 1

（1）證明：如圖，取BC的中點(diǎn)N，連接EM，MN，AN
則MN∥CD，且MN=

1

2

CD=2
∴AE∥MN，且AE=MN
∴四邊形EMNA為平行四邊形
∴EM∥AN
∵EM?平面ABC，AN?平面ABC
∴EM∥平面ABC
（2）如圖，連接AD，則VV_ABCED=V_D-ABC+V_D-ABE
由已知可知CD⊥面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AB⊥AC，CD∥平面ABE，點(diǎn)D到面ABE的距離等于點(diǎn)C到面ABE的距離，即等于CA的長2．
∴VD-ABC=

1

3

×(

1

2

AB×AC)×DC=

1

3

×(

1

2

×2×2)×4=

8

3

VD-ABE=

1

3

×(

1

2

×AE×AB)×CA=

1

3

×(

1

2

×2×2)×2=

4

3

∴VABCED=

8

3

+

4

3

=4
故幾何體的體積為4．