Question

【題目】如圖：某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池（ABCD）的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（Rt△FHE，H是直角頂點(diǎn)）來(lái)處理污水，管道越長(zhǎng)，污水凈化效果越好．設(shè)計(jì)要求管道的接口H是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10 米，記∠BHE=θ．

（1）試將污水凈化管道的長(zhǎng)度L表示為θ的函數(shù)，并寫(xiě)出定義域；
（2）問(wèn)：當(dāng)θ取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得EH= ，F(xiàn)H= ，EF= ，由于 BE=10tanθ≤10 ，AF= ≤10 ，

而且 ≤tanθ≤ ，θ∈[ ， ]，

∴L= + + ，θ∈[ ， ]．

即L=10× ，θ∈[ ， ]

（2）解：設(shè)sinθ+cosθ=t，則 sinθcosθ= ，由于θ∈[ ， ]，∴sinθ+cosθ=t= sin（θ+ ）∈[ ， ]．

由于L= 在[ ， ]上是單調(diào)減函數(shù)，∴當(dāng)t= 時(shí)，即 θ= 或θ= 時(shí)，L取得最大值為 20（ +1）米

【解析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長(zhǎng)度L的函數(shù)解析式，并注明θ的范圍．（2）設(shè)sinθ+cosθ=t，根據(jù)函數(shù) L= 在[ ， ]上是單調(diào)減函數(shù)，可求得L的最大值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解三角函數(shù)的最值(函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，)．