Question

【題目】已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點 ，且滿足，

(1)求的解析式；

(2)已知，求函數(shù)在的最大值和最小值；

函數(shù)的圖像上是否存在這樣的點，其橫坐標(biāo)是正整數(shù)，縱坐標(biāo)是一個完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1） ； （2）當(dāng)時，，當(dāng)，

當(dāng)，；當(dāng)，；（3）.

【解析】

（1）由得到函數(shù)的對稱軸，所以，再根據(jù)函數(shù)所過的點得到c=11,進而得到函數(shù)表達式；（2）根據(jù)函數(shù)表達式將絕對值去點，寫成分段形式，討論t的范圍，進而得到最值；設(shè)函數(shù)的圖像上存在點符合要求其中則，從而，變形為，根據(jù)數(shù)據(jù)43為質(zhì)數(shù)，故可得到結(jié)果.

（1）因為二次函數(shù)

所以二次函數(shù)的對稱軸方程為 ，即 ，所以.

又因為二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點

所以，解得，

因此，函數(shù)的解析式為.

(2)由（1）知，= ，

所以，當(dāng)時，，

當(dāng)，

當(dāng)，

當(dāng)，，

如果函數(shù)的圖像上存在點符合要求其中

則，從而

即,

注意到43是質(zhì)數(shù)，且，

所以有 ，解得 ,

因此，函數(shù)的圖像上存在符合要求的點，它的坐標(biāo)為.