【題目】已知定義在上的函數(shù)滿足:

①對于任意的,都有;

②當時,,且

(1)求的值,并判斷函數(shù)的奇偶性;

(2)判斷函數(shù)上的單調性;

(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.

【答案】(1)為偶函數(shù);(2)上是增函數(shù);(3)2.

【解析】

(1)先求f(﹣1)的值,令y=﹣1,推出f(﹣x)=f(x)+f(﹣1),f(﹣x)=f(x).結合函數(shù)奇偶性的定義,判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;

(2)利用函數(shù)單調性的定義,直接判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調性;

(3)通過(1),(2)奇偶性,單調性,直接求函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣4,0)∪(0,4]上的最大值;

(1)令x=y=1,則f(1×1)=f(1)+f(1),得f(1)=0;

再令x=y=﹣1,則f[(﹣1)×(﹣1)]=f(﹣1)+f(﹣1),得f(﹣1)=0.

對于條件f(xy)=f(x)+f(y),令y=﹣1,

則f(﹣x)=f(x)+f(﹣1),所以f(﹣x)=f(x).

又函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱,所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則有

當x1時,f(x)>0,

∴f()>0

>f(x1),

所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

(3)∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2),又f(2)=1,

∴f(4)=2.

又由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣4,0)∪(0,4]上是偶函數(shù)且在(0,4]上是增函數(shù),

函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣4,0)∪(0,4]上的最大值為f(4)=f(﹣4)=2.

練習冊系列答案
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x

1

2

3

4

g(x)

1

1

3

3

x

1

2

3

4

f(x)

4

3

2

1

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