【題目】設(shè)橢圓)的右焦點(diǎn)為,短軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離等于焦距.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)設(shè)、是四條直線,所圍成的矩形在第一、第二象限的兩個(gè)頂點(diǎn),是橢圓上任意一點(diǎn),若,求證:為定值;

3)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且滿足△與△的面積的比值為,求直線的方程.

【答案】12)證明見解析(3

【解析】

1)根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)求得,根據(jù)短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離求得,由此求得,進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2)求得的坐標(biāo),設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算,由求得,也即求得點(diǎn)坐標(biāo),將其代入橢圓,化簡(jiǎn)后證得為定值.

3)將三角形和三角形的面積的比值,轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的比值,即.當(dāng)直線斜率不存在時(shí),根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知,不符合題意.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)出直線的方程.代入橢圓方程,化簡(jiǎn)后寫出韋達(dá)定理.,求得,代入韋達(dá)定理,由此解方程求得的值,進(jìn)而求得直線的方程.

1)由已知,,

,故,

所以,,所以,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2,

設(shè),則,

由已知,即,

所以 ,所以,化簡(jiǎn)得為定值.

3等價(jià)于,

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,不合題意.

故直線的斜率存在,設(shè),

消去,得,

設(shè),,則①,②,

,得,,將其代入①②,得③,④.將③代入④,化簡(jiǎn)得,解得

所以,直線的方程為

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【題目】如圖一塊長(zhǎng)方形區(qū)域,,,在邊的中點(diǎn)處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈,其照射角始終為,設(shè),探照燈照射在長(zhǎng)方形內(nèi)部區(qū)域的面積為.

(1)當(dāng)時(shí),求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)時(shí),求的最大值;

(3)若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個(gè)來(lái)回”(轉(zhuǎn)到,再回到,稱“一個(gè)來(lái)回”,忽略處所用的時(shí)間),且轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小一定,設(shè)邊上有一點(diǎn),且,求點(diǎn)在“一個(gè)來(lái)回”中被照到的時(shí)間.

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【題目】足球是世界普及率最高的運(yùn)動(dòng),我國(guó)大力發(fā)展校園足球.為了解本地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r,社會(huì)調(diào)查小組得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):

年份x

2014

2015

2016

2017

2018

足球特色學(xué)校y(百個(gè))

0.30

0.60

1.00

1.40

1.70

1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),計(jì)算yx的相關(guān)系數(shù)r,并說(shuō)明yx的線性相關(guān)性強(qiáng)弱.

(已知:,則認(rèn)為yx線性相關(guān)性很強(qiáng);,則認(rèn)為yx線性相關(guān)性一般;,則認(rèn)為yx線性相關(guān)性較):

2)求y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)A地區(qū)2020年足球特色學(xué)校的個(gè)數(shù)(精確到個(gè)).

參考公式和數(shù)據(jù):,

,

.

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【題目】某班學(xué)生中喜愛看綜藝節(jié)目的有18人,體育節(jié)目的有27人,時(shí)政節(jié)目的有9人,現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學(xué)生中抽取6名學(xué)生.

(Ⅰ)求應(yīng)從喜愛看綜藝節(jié)目,體育節(jié)目,時(shí)政節(jié)目的學(xué)生中抽取的學(xué)生人數(shù);

(Ⅱ)若從抽取的6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人分作一組,

1)列出所有可能的結(jié)果;

2)求抽取的2人中有1人喜愛綜藝節(jié)目1人喜愛體育節(jié)目的概率.

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【題目】某企業(yè)參加項(xiàng)目生產(chǎn)的工人為人,平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)萬(wàn)元.根據(jù)現(xiàn)實(shí)的需要,從項(xiàng)目中調(diào)出人參與項(xiàng)目的售后服務(wù)工作,每人每年可以創(chuàng)造利潤(rùn)萬(wàn)元(),項(xiàng)目余下的工人每人每年創(chuàng)造利圖需要提高

1)若要保證項(xiàng)目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)名工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn),則最多調(diào)出多少人參加項(xiàng)目從事售后服務(wù)工作?

2)在(1)的條件下,當(dāng)從項(xiàng)目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的時(shí),才能使得項(xiàng)目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤(rùn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.

1)設(shè),判斷上是否為有界函數(shù),若是,請(qǐng)說(shuō)明理由,并寫出的所有上界的集合;若不是,也請(qǐng)說(shuō)明理由;

2)若函數(shù)上是以為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量萬(wàn)件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與促銷費(fèi)用萬(wàn)元滿足(其中,為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬(wàn)元(不含促銷費(fèi)用),產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為件.

1)將該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用萬(wàn)元的函數(shù);

2)促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí),該公司的利潤(rùn)最大?

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【題目】1)設(shè)橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、,是橢圓與雙曲線的公共點(diǎn),且△的周長(zhǎng)為6,求橢圓的方程;我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為盾圓;

2)如圖,已知盾圓的方程為,設(shè)盾圓上的任意一點(diǎn)的距離為,到直線的距離為,求證:為定值;

3)由拋物線弧)與第(1)小題橢圓弧)所合成的封閉曲線為盾圓,設(shè)過點(diǎn)的直線與盾圓交于、兩點(diǎn),,,且),試用表示,并求的取值范圍.

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【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是正方形,四邊形是梯形,,,平面平面,且.

(Ⅰ)求證:∥平面;

(Ⅱ)求二面角的大;

(Ⅲ)已知點(diǎn)在棱上,且異面直線所成角的余弦值為,求線段的長(zhǎng).

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