Question

已知（e≈2.71828）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)’若存在x₁，x₂∈[0，4]使得成的取值范圍．

Answer 1

解：（1）①當a＜2時，由f′（x）＞0得2＜x＜a 由f′（x）＜0得x＜a或x＞2
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，2），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，2）（a，+∞）
②當a=2時，f′（x）≤0，f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)
③當a＞2時，由f′（x）＞0，得2＜x＜a 由f′（x）＜0得x＜2或x＞a
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，a），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，2）（a，+∞）
（2）∵a＜0，由（1）知f（x）在[0，2）上為增函數(shù)，在（2，4]上為減函數(shù)
∴當x∈[0，4]時f（x）_max=f（2）=又
∵g（x）=在[0，4]上為減函數(shù)
∴g（x）_min=g（4）=
∵=
∴g（x）_min＞f（x）_max恒成立，
∴若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|
只需個g（x）_min-f
∴a²+a-2＜0
∴-2＜a＜1
∵a＜0
∴a∈（-2，0）
分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)分別大于0，小于0，求對應(yīng)的不等式的解集，求解集時小于對字母系數(shù)的值進行討論，比較出大小才能做出單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)a＜0，知f（x）在[0，2）上為增函數(shù)，在（2，4]上為減函數(shù)，分別求出兩個函數(shù)的最大值和最小值，利用函數(shù)的恒成立的思想，得到兩者之間的關(guān)系，解不等式得到結(jié)果．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和函數(shù)的恒成立問題，是一個綜合題目，這種題目解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的思想，利用兩個函數(shù)的最大值和最小值之間的關(guān)系來解題．