Question

已知函數(shù)f(x)=

2x-1

(x+1)2

，g（x）=xe^ax-1（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.718）．
（1）當(dāng)x∈[0，3]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若對于任意的x₀∈[0，3]，都存在x₁∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x₀），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，然后判定函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值，即可求得函數(shù)的值域；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，3]上的值域為N，可轉(zhuǎn)化成若對于任意的x₀∈[0，3]，都存在x₁∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x₀），即[-1，

1

3

]⊆N，從而討論a的正負，以及與-

1

3

進行比較，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的值域即可．

解答：解：（1）由已知，x≠-1，f′(x)=

-2x+4

(x+1)3

，…（2分）
在區(qū)間（-1，2）上，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
在區(qū)間（2，+∞）上，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
所以，在區(qū)間[0，3]上，函數(shù)f（x）的最大值為f(2)=

1

3

，
又f（0）=-1，f(3)=

5

16

，所以f（x）的最小值為f（0）=-1．
所以f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域為[-1，

1

3

]．
（2）設(shè)函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，3]上的值域為N，根據(jù)題意，
若對于任意的x₀∈[0，3]，都存在x₁∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x₀），即[-1，

1

3

]⊆N．
①當(dāng)a=0時，g（x）=x-1，在區(qū)間[0，3]上的值域N=[-1，2]，符合題意；
由已知g'（x）=（ax+1）e^ax，
②當(dāng)a＞0時，在(-

1

a

，+∞)上，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，在區(qū)間[0，3]上的值域N=[g（0），g（3）]，
即N=[-1，3e^3a-1]，因為3e^3a＞3，3e^3a-1＞2所以符合題意；
③當(dāng)-

1

3

＜a＜0時，-

1

a

＞3，在(-∞，-

1

a

)上，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，在區(qū)間[0，3]上的值域N=[g（0），g（3）]，即N=[-1，3e^3a-1]，
因為-

1

3

＜a＜0，所以-1＜3a＜0，

3

e

-1＜3e3a-1＜2，
比較

3

e

-1與

1

3

，即比較e與

9

4

，因為e≈2.718，所以e＞

9

4

，所以

3

e

-1＜

1

3

．
所以，根據(jù)題意，需3e3a-1≥

1

3

，解得a≥

2

3

ln

2

3

．所以

2

3

ln

2

3

≤a＜0；…（10分）
④當(dāng)a≤-

1

3

時，0＜-

1

a

≤3，在(-∞，-

1

a

)上，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
在(-

1

a

，+∞)上，g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，在區(qū)間[0，3]上的最大值為g(-

1

a

)=-

1

ae

-1，
以下比較-

1

ae

-1與

1

3

，由于0＜-

1

a

≤3，所以-

1

ae

-1≤

3

e

-1＜

1

3

，不符合題意．…（12分）
綜上，實數(shù)a的取值范圍為[

2

3

ln

2

3

 ， +∞)．

點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．