Question

已知函數(shù)f（x）=x+alnx，其中a為常數(shù)，且a≤-1．
（Ⅰ）當a=-1時，求f（x）在[e，e²]（e=2.718 28…）上的值域；
（Ⅱ）若f（x）≤e-1對任意x∈[e，e²]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=x-lnx的導數(shù)，利用導數(shù)判斷在[e，e²]上的單調(diào)性，便可求值域；
（Ⅱ）依題意就是求f（x）在[e，e²]上的最大值，用a表示出函數(shù)最大值，再將恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，結(jié)合導數(shù)法解決即可．

解答：解：（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=x-lnx，
得f′(x)=1-

1

x

，（2分）
令f'（x）＞0，即1-

1

x

＞0，解得x＞1，所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
據(jù)此，函數(shù)f（x）在[e，e²]上為增函數(shù)，（4分）
而f（e）=e-1，f（e²）=e²-2，所以函數(shù)f（x）在[e，e²]上的值域為[e-1，e²-2]（6分）
（Ⅱ）由f′(x)=1+

a

x

，令f'（x）=0，得1+

a

x

=0，即x=-a，
當x∈（0，-a）時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減；
當x∈（-a，+∞）時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-a，+∞）上單調(diào)遞增；（7分）
若1≤-a≤e，即-e≤a≤-1，易得函數(shù)f（x）在[e，e²]上為增函數(shù)，
此時，f（x）_max=f（e²），要使f（x）≤e-1對x∈[e，e²]恒成立，只需f（e²）≤e-1即可，
所以有e²+2a≤e-1，即a≤

-e2+e-1

2

而

-e2+e-1

2

-(-e)=

-(e2-3e+1)

2

＜0，即

-e2+e-1

2

＜-e，所以此時無解．（8分）
若e＜-a＜e²，即-e＞a＞-e²，易知函數(shù)f（x）在[e，-a]上為減函數(shù)，在[-a，e²]上為增函數(shù)，
要使f（x）≤e-1對x∈[e，e²]恒成立，只需

f(e)≤e-1 f(e2)≤e-1

，即

a≤-1 a≤ -e2+e-1 2

，
由

-e2+e-1

2

-(-1)=

-e2+e+1

2

＜0和

-e2+e-1

2

-(-e2)=

e2+e-1

2

＞0
得-e2＜a≤

-e2+e-1

2

．（10分）
若-a≥e²，即a≤-e²，易得函數(shù)f（x）在[e，e²]上為減函數(shù)，
此時，f（x）_max=f（e），要使f（x）≤e-1對x∈[e，e²]恒成立，只需f（e）≤e-1即可，
所以有e+a≤e-1，即a≤-1，又因為a≤-e²，所以a≤-e²．（12分）
綜合上述，實數(shù)a的取值范圍是(-∞，

-e2+e-1

2

]．（13分）

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的導數(shù)在求函數(shù)最值的應用，解題的關鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決，屬于中檔題．