【題目】已知F1 , F2分別是橢圓C: =1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P(1, )是橢圓上一點(diǎn),且 |PF1|,|F1F2|, |PF2|成等差數(shù)列.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知?jiǎng)又本l過點(diǎn)F2 , 且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),試問x軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得 =﹣ 恒成立?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)解:∵ |PF1|,|F1F2|, |PF2|成等差數(shù)列,
∴ |PF1|+ |PF2|=2|F1F2|,即2 a=4c,∴a= c.
∴ ,解得 .
∴橢圓方程為
(2)解:假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q(m,0),使得 =﹣ 恒成立.
①當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),A(﹣ ,0),B( ,0).
∴ =(﹣ ﹣m,0), =( ﹣m,0).
∴ =m2﹣2=﹣ ,解得 或m=﹣ .
②若直線l斜率不為0,設(shè)直線AB的方程為x=ty+1.
聯(lián)立方程組 ,消元得:(t2+2)y2+2ty﹣1=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣ .
∴x1+x2=t(y1+y2)+2= ,
x1x2=(ty1+1)(ty2+1)=t2y1y2+t(y1+y2)+1= .
∵ =(x1﹣m,y1), =(x2﹣m,y2).
∴ =(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2=x1x2﹣m(x1+x2)+m2+y1y2
= ﹣ +m2﹣ = =﹣ .
∴ ,解得m= .
綜上,Q點(diǎn)坐標(biāo)為( ,0)
【解析】(1)根據(jù)橢圓的性質(zhì)及等差數(shù)列性質(zhì)得出a= c,把P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程列方程組解出a,b得出橢圓方程;(2)設(shè)Q(m,0),當(dāng)直線斜率為0時(shí),求出A,B坐標(biāo),列方程解出m,當(dāng)直線斜率不為0時(shí),設(shè)AB方程為x=ty+1,聯(lián)立方程組得出A,B坐標(biāo)的關(guān)系,根據(jù) =﹣ 列方程解出m.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x2+ax,g(x)=ex , a∈R且a≠0,e=2.718…,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)h(x)=f(x)g(x)在[﹣1,1]上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)令函數(shù)p(x)=f'(x)g(x),若a∈[1,3],函數(shù)p(x)在區(qū)間[b+a﹣ea , +∞]上均為增函數(shù),求證:b≥e3﹣7.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形,∠ABC=60°,SA⊥平面ABCD,且SA=4,M在棱SA上,且AM=1,N在棱SD上且SN=2ND. (Ⅰ)求證:CN∥面BDM;
(Ⅱ)求直線SD與平面BDM所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為正方形,四邊形ABEF為直角梯形,且AF∥BE,AB⊥BE,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB=BE=2AF=2. (Ⅰ)求證:AC∥平面DEF;
(Ⅱ)若二面角D﹣AB﹣E為直二面角,
( i)求直線AC與平面CDE所成角的大;
( ii)棱DE上是否存在點(diǎn)P,使得BP⊥平面DEF?若存在,求出 的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)D是函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間,若存在x0∈D,使f(x0)=﹣x0 , 則稱x0是f(x)的一個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”,也稱f(x)在區(qū)間D上存在次不動(dòng)點(diǎn).若函數(shù)f(x)=ax2﹣3x﹣a+ 在區(qū)間[1,4]上存在次不動(dòng)點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,0)
B.(0, )
C.[ ,+∞)
D.(﹣∞, ]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=|ax﹣1|. (Ⅰ)若f(x)≤2的解集為[﹣6,2],求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)當(dāng)a=2時(shí),若存在x∈R,使得不等式f(2x+1)﹣f(x﹣1)≤7﹣3m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù),且函數(shù) 在區(qū)間I上是減函數(shù),則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的“H函數(shù)”.對(duì)于命題:①函數(shù) 是(0,1)上的“H函數(shù)”;②函數(shù) 是(0,1)上的“H函數(shù)”.下列判斷正確的是( )
A.①和②均為真命題
B.①為真命題,②為假命題
C.①為假命題,②為真命題
D.①和②均為假命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=lg(1﹣x2),集合A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},則如圖中陰影部分表示的集合為( )
A.[﹣1,0]
B.(﹣1,0)
C.(﹣∞,﹣1)∪[0,1)
D.(﹣∞,﹣1]∪(0,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ex﹣a , g(x)=ln(x+2)﹣4ea﹣x , 其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若存在實(shí)數(shù)x0 , 使f(x0)﹣g(x0)=3成立,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.﹣ln2﹣1
B.﹣1+ln2
C.﹣ln2
D.ln2
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