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【題目】設D是函數y=f(x)定義域內的一個區(qū)間,若存在x0∈D,使f(x0)=﹣x0 , 則稱x0是f(x)的一個“次不動點”,也稱f(x)在區(qū)間D上存在次不動點.若函數f(x)=ax2﹣3x﹣a+ 在區(qū)間[1,4]上存在次不動點,則實數a的取值范圍是(
A.(﹣∞,0)
B.(0,
C.[ ,+∞)
D.(﹣∞, ]

【答案】D
【解析】解:依題意,存在x∈[1,4], 使F(x)=f(x)+x=ax2﹣2x﹣a+ =0,
當x=1時,使F(1)= ≠0;
當x≠1時,解得a= ,
∴a′= =0,
得x=2或x= ,( <1,舍去),

x

(1,2)

2

(2,4)

a′

+

0

a

最大值

∴當x=2時,a最大= = ,
所以常數a的取值范圍是(﹣∞, ],
故選:D.
根據“f(x)在區(qū)間D上有次不動點”當且僅當“F(x)=f(x)+x在區(qū)間D上有零點”,依題意,存在x∈[1,4],使F(x)=f(x)+x=ax2﹣2x﹣a+ =0,討論將a分離出來,利用導數研究出等式另一側函數的取值范圍即可求出a的范圍.

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