已知函數(shù)f(x)=aln(2x+1)+bx+1.
(1)若函數(shù)y=f(x)在x=1處取得極值,且曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線與直線2x+y-3=0平行,求a的值;
(2)若b=,試討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.
(1)(2)當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間為增函數(shù);當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).
【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>,f′(x)=+b=,
由題意可得解得所以.
(2)若b=,則f(x)=aln(2x+1)+x+1,
所以f′(x)=,
1° 令f′(x)=>0,由函數(shù)定義域可知,4x+2>0,所以2x+4a+1>0,
①當(dāng)a≥0時(shí),x∈,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
②當(dāng)a<0時(shí),x∈,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
2° 令f′(x)=<0,即2x+4a+1<0,
①當(dāng)a≥0時(shí),不等式f′(x)<0無(wú)解;
②當(dāng)a<0時(shí),x∈,f′(x)<0,函數(shù)f′(x)單調(diào)遞減.
綜上,當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間為增函數(shù);當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù)
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在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形,鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC,CB的長(zhǎng),則該矩形面積大于20 cm2的概率為________.
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設(shè){an}是公差不為0的等差數(shù)列,a1=2且a1,a3,a6成等比數(shù)列,則{an} 的前n項(xiàng)和Sn=________.
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△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,向量m=(2sin B,2-cos 2B),n=,m⊥n,∠B=________.
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已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,則|b|等于________.
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已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>[-1,5],部分對(duì)應(yīng)值如下表,f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖,下列關(guān)于函數(shù)f(x)的四個(gè)命題:
x | -1 | 0 | 4 | 5 |
f(x) | 1 | 2 | 2 | 1 |
①函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù);
②函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù);
③如果當(dāng)x∈[-1,t]時(shí),f(x)的最大值是2,那么t的最大值為4;
④當(dāng)1<a<2時(shí),函數(shù)y=f(x)-a有4個(gè)零點(diǎn).其中真命題的個(gè)數(shù)是________.
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已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,其最小正周期為4,且x∈(0,2)時(shí),f(x)=log2(1+3x),則f(2 015)=______.
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已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,設(shè)向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).
(1)若m∥n,求證:△ABC為等腰三角形;
(2)若m⊥p,邊長(zhǎng)c=2,C=,求△ABC的面積.
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已知函數(shù)f(x)=x3-2x2+3m,x∈[0,+∞),若f(x)+5≥0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
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