【題目】已知定義在 上的函數(shù)滿足 ,當 時, .
(1)求證: 為奇函數(shù);
(2)求證: 為 上的增函數(shù);
(3)解關(guān)于 的不等式: (其中 且 為常數(shù)).
【答案】
(1)解:由題意知 ,令 ,得 ,即 .
再令 ,即 ,得 .
∴ ,
∴ 是奇函數(shù)
(2)解:設 ,且 ,則 .
由已知得: ,
∴ ,
∴ .
即 在 上是增函數(shù)
(3)解:∵ ,∴ ,
∴ .
即 .
∵ ,∴ .
當 ,即 時,所求不等式的解集為 或 .
當 ,即 時, 所求不等式的解集為 .
當 ,即 時, 所求不等式的解集為 或
【解析】(1)抽象函數(shù)的奇偶性判斷,可由函數(shù)所滿足的條件,取特殊值,得到f(x)與f(-x)的關(guān)系進行判斷;
(2)抽象函數(shù)的單調(diào)性,用定義證明;
(3)將函數(shù)不等式進行轉(zhuǎn)化為標準型,由單調(diào)性脫去f得到關(guān)于x的含參數(shù)a的不等式,分類討論求解,得解集.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識點,需要掌握偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱;奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校在校學生2 000人,為了學生的“德、智、體”全面發(fā)展,學校舉行了跑步和登山比賽活動,每人都參加而且只參與其中一項比賽,各年級參與比賽的人數(shù)情況如下表:
高一年級 | 高二年級 | 高三年級 | |
跑步人數(shù) | a | b | c |
登山人數(shù) | x | y | z |
其中a∶b∶c=2∶5∶3,全校參與登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的 .為了了解學生對本次活動的滿意程度,從中抽取一個200人的樣本進行調(diào)查,則高三年級參與跑步的學生中應抽取( )
A.15人
B.30人
C.40人
D.45人
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,其左、右焦點為F1、F2 , 點P是坐標平面內(nèi)一點,且|OP|= , = ,其中O為坐標原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,過點S(0,﹣ )的動直線l交橢圓于A、B兩點,是否存在定點M,使以AB為直徑的圓恒過這個點?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校為評估新教改對教學的影響,挑選了水平相當?shù)膬蓚平行班進行對比實驗.甲班采用創(chuàng)新教法,乙班仍采用傳統(tǒng)教法,一段時間后進行水平測試,成績結(jié)果全部落在[60,100]區(qū)間內(nèi)(滿分100分),并繪制頻率分布直方圖如圖,兩個班人數(shù)均為60人,成績80分及以上為優(yōu)良.
(1)根據(jù)以上信息填好2×2聯(lián)表,并判斷出有多大的把握認為學生
(2)成績優(yōu)良與班級有關(guān)?
(3)以班級分層抽樣,抽取成績優(yōu)良的5人參加座談,現(xiàn)從5人中隨機選3人來作書面發(fā)言,求發(fā)言人至少有2人來自甲班的概率.(以下臨界值及公式僅供參考)
P(k2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
k2= ,n=a+b+c+d.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=-2x2+4x+3.
(1)求f(x)的表達式;
(2)畫出f(x)的圖象,并指出f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列結(jié)論不正確的是(填序號).
①各個面都是三角形的幾何體是三棱錐;
②以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐;
③棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等,則此棱錐可能是六棱錐;
④圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=e2x+1﹣2mx﹣ m,其中m∈R,e為自然對數(shù)底數(shù).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若不等式f(x)≥n對任意x∈R都成立,求mn的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】里約熱內(nèi)盧奧運會正在如火如荼的進行,奧運會紀念品銷售火爆,已知某種紀念品的單價是5元,買x(x∈{1,2,3,4,5})件該紀念品需要y元.試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y=f(x).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2﹣x+2.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對任意x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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