Question

【題目】已知函數(shù)，是常數(shù)且.

（1）若曲線在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值；

（2）若（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），試證明：①函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，②函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)滿(mǎn)足.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線的斜率求出a的值即可；（2）對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的最大值且最大值大于0，可知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，即，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只要證明x1＞ -x2即可．

（1）切線的斜率

，

解，得

（2）①解，得

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在處取得最大值

，因?yàn)?/span>，所以，在區(qū)間有零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在區(qū)間有唯一零點(diǎn).

由冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較及的單調(diào)性知，在區(qū)間有唯一零點(diǎn)，從而函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

②不妨設(shè)，作函數(shù)，，

則，

所以，即，

又，所以

因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>在區(qū)間單調(diào)遞減，

所以，

又，，所以