【題目】已知（，是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）曲線在、處的切線平行，線段的中點為，求證：.

【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間是，的單調(diào)減區(qū)間是，.（2）見解析

【解析】

（1）先求導，再根據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關系即可求出單調(diào)區(qū)間，

（2）由題意可得，即，再根據(jù)基本不等式可得．即可證明，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，

設，，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的最值即可證明

解：（1）由函數(shù)得，，且.

∵，∴.

由不等式得，由不等式得，或.

所以的單調(diào)增區(qū)間是，的單調(diào)減區(qū)間是，.

（2）因曲線在、處的切線平行，

所以，即，

∴，

∴，即.

∵，即

∴.∴.

由（1）知，在區(qū)間上遞增，在區(qū)間遞減，且.

所以，當時，.

∴.

設，當時，.

令，∴，即，

∴，即，

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴.

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增.

當時，.

所以，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）若射線的極坐標方程為（）.設與相交于點，與相交于點，求.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】點是直線上的動點，過點的直線、與拋物線相切，切點分別是、.

（1）證明：直線過定點；

（2）以為直徑的圓過點，求點的坐標及圓的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1.現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點，如圖②.

(1)求證：AM∥平面BEC；

(2)求點D到平面BEC的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，多面體中，面為矩形，面面，.

（1）求證：面面；

（2）已知多面體各頂點均在同一球面上，且該球的表面積為，，當這個多面體的體積取得最大值時求其側(cè)視圖的面積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，且，，、分別是、的中點，點在線段上，且.

（1）求證：不論取何值，總有；

（2）當時，求平面與平面所成二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的傾斜角為，且經(jīng)過點．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線，從原點O作射線交于點M，點N為射線OM上的點，滿足，記點N的軌跡為曲線C．

（Ⅰ）求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；

（Ⅱ）設直線與曲線C交于P，Q兩點，求的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線與曲線交于兩點.

(1)求的長；

(2)在以為極點，軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中，設點的極坐標為，求點到線段中點的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（，t為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求直角坐標系下直線與曲線的普通方程；

（2）設直線與曲線交于點、（二者可重合），交軸于，若，求的值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案