Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線，從原點(diǎn)O作射線交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為射線OM上的點(diǎn)，滿足，記點(diǎn)N的軌跡為曲線C．

（Ⅰ）求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）(t為參數(shù))，；（Ⅱ）3.

【解析】

（Ⅰ）直接由已知寫出直線l1的參數(shù)方程，設(shè)N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由題意可得，即ρ＝4cosθ，然后化為普通方程；

（Ⅱ）將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程中，得到關(guān)于t的一元二次方程，再由參數(shù)t的幾何意義可得|AP||AQ|的值．

（Ⅰ）直線l1的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）

即（t為參數(shù)）．設(shè)N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），

則，即，即ρ=4cosθ，

∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2-4x+y2=0（x≠0）.

（Ⅱ）將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程中，

得，

即，t1，t2為方程的兩個(gè)根，

∴t1t2=-3，∴|AP||AQ|=|t1t2|=|-3|=3．