已知函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)如果當時,不等式恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)求證.
(1)函數(shù)在處取得極大值f(1)="1" ,無極小值。
(2)
(3)見解析
解析試題分析:(1)利用導數(shù)的思想,通過導數(shù)的符號判定函數(shù)的單調性,進而得到極值。
(2)要證明不等式恒成立,移項,右邊為零,將左邊重新構造新的函數(shù),證明函數(shù)的最小值大于零即可。
(3)在第二問的基礎上,放縮法得到求和的不等式關系。
解:(1)因為, x >0,則,…………1分
當時,;當時,.
所以在(0,1)上單調遞增;在上單調遞減,
所以函數(shù)在處取得極大值f(1)="1" ,無極小值。…………3分
(2)不等式即為 記
所以…………7分
令,則, ,
在上單調遞增, ,從而,
故在上也單調遞增, 所以,所以 . ……9分
(3)由(2)知:恒成立,即,
令,則
所以 , , ,… …
, …………12分
疊加得:
.
則,所以 …………14分
考點:本題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
點評:解決該試題的關鍵是對于導數(shù)的符號與函數(shù)單調性的熟練的運用,并能結合單調性求解函數(shù)的 極值和最值問題。難點是對于遞進關系的試題,證明不等式,往往要用到上一問的結論。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)已知在處有極值,其圖象在處的切線與直線平行.
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)若時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若x=3是f(x)的極值點,求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
一列火車在平直的鐵軌上行駛,由于遇到緊急情況,火車以速度(單位:m/s)緊急剎車至停止。求:
(I)從開始緊急剎車到火車完全停止所經過的時間;
(Ⅱ)緊急剎車后火車運行的路程。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題12分)
已知函有極值,且曲線處的切線斜率為3.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求在[-4,1]上的最大值和最小值。
(3)函數(shù)有三個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù)
(1)若關于x的不等式在有實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)設,若關于x的方程至少有一個解,求 的最小值.
(3)證明不等式:
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