【題目】如圖,四棱錐的底面是正方形,每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍,為側(cè)棱上的點(diǎn).

(1)求證:

(2)若平面,求二面角的大小;

(3)在(2)的條件下,側(cè)棱上是否存在一點(diǎn),使得平面.若存在,求的值;若不存在,試說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)證明;(2) (3)見(jiàn)解析

【解析】

(1)先證明平面,即可得到;

(2)由題設(shè)知,連,設(shè)交于,由題意知平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),,分別為軸、軸、軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個(gè)法向量,求法向量的夾角余弦值,即可求出結(jié)果;

(3)要使平面,只需與平面的法向量垂直即可,結(jié)合(2)中求出的平面的一個(gè)法向量,即可求解.

(1)連,由題意.

在正方形中,,

所以平面,得

(2)由題設(shè)知,連,設(shè)交于,由題意知平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,分別為軸、軸、軸正方向,建立坐標(biāo)系如圖.

設(shè)底面邊長(zhǎng)為,則高.

,

平面,

則平面的一個(gè)法向量,

平面的一個(gè)法向量,

,

又二面角為銳角,則二面角;

(3)在棱上存在一點(diǎn)使平面.由(2)知是平面的一個(gè)法向量,

,

設(shè)

平面,所以

.

即當(dāng)時(shí),

不在平面內(nèi),故平面.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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有聲書(shū)公司將付費(fèi)高于元的用戶定義為“愛(ài)付費(fèi)用戶”,將年齡在歲及以下的用戶定義為“年輕用戶”.已知抽取的樣本中有的“年輕用戶”是“愛(ài)付費(fèi)用戶”.

(1)完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料,能否有的把握認(rèn)為用戶“愛(ài)付費(fèi)”與其為“年輕用戶”有關(guān)?

愛(ài)付費(fèi)用戶

不愛(ài)付費(fèi)用戶

合計(jì)

年輕用戶

非年輕用戶

合計(jì)

(2)若公司采用分層抽樣方法從“愛(ài)付費(fèi)用戶”中隨機(jī)選取人,再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行訪談,求抽取的人恰好都是“年輕用戶”的概率.

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(1)求橢圓的方程;

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經(jīng)計(jì)算: , , , , ,其中分別為試驗(yàn)數(shù)據(jù)中的溫度和死亡株數(shù), .

(1)若用線性回歸模型,求關(guān)于的回歸方程(結(jié)果精確到);

(2)若用非線性回歸模型求得關(guān)于的回歸方程為,且相關(guān)指數(shù)為.

(i)試與(1)中的回歸模型相比,用說(shuō)明哪種模型的擬合效果更好;

(ii)用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為時(shí)該批紫甘薯死亡株數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù) ,…… ,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為: ;相關(guān)指數(shù)為: .

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(1)若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值;

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已知函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)?/span>R.

()求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

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