Question

（本題13分）設(shè)，，函數(shù)，

（1）設(shè)不等式的解集為C，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)取值范圍；

（2）若對(duì)任意，都有成立，求時(shí)，的值域；

（3）設(shè) ，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】本試題主要是研究二次函數(shù)的 性質(zhì)的運(yùn)用。利用函數(shù)的單調(diào)性和不等式的知識(shí)的綜合運(yùn)用得到。

（1）根據(jù)不等式的解集得到C，然后利用集合的并集和集合間的關(guān)系得到實(shí)數(shù)m的范圍

（2）根據(jù)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有函數(shù)式子成立，說明函數(shù)的對(duì)稱軸x=1，然后得到解析式，從而求解給定區(qū)間的值域。

（3）利用給定的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)得到最值。

解：（1），因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811222499624623/SYS201209081122486987419906_DA.files/image005.png">，圖像開口向上，

且恒成立，故圖像始終與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，由題意，要使這兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)

，當(dāng)且僅當(dāng)：，………3分，解得：  ……4分

（2）對(duì)任意都有，所以圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，

得．所以為上減函數(shù)． 

；．故時(shí)，值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811222499624623/SYS201209081122486987419906_DA.files/image002.png">      6分（3）令，則

（i）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而函數(shù)在上的最小值為．

若，則函數(shù)在上的最小值為，且

（ii）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，若，

則函數(shù)在上的最小值為，且，若，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

從而函數(shù)在上的最小值為．…………………………1分

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，

函數(shù)的最小值為

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為．      13分GH