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【題目】已知函數的圖像與軸相切，.

（1）求證：；

（2）若，求證：.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）求出的導數，設的圖象與x軸相交于點，可得，解方程可得，原不等式等價于，設，求出導數和單調區(qū)間，可得極值、最值，即可得證；
（2）設，求出導數，運用（1）的結論可得單調遞增，再由不等式的性質可得，即，再運用的單調性和不等式的性質，證得，進而證得右邊不等式.

（1）由題得，設的圖像與軸相切于點，則

，即，解得，

所以，則，即為.

設，則.

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.

所以，即，

所以；

（2）先證，設，則，

由（1）可知，當時，，從而有，所以單調遞增.

又，從而有，即，

所以，即.

再證，因為

，

又由（1）知，，故在單調遞增，

則，即，所以.

又，所以.

綜上可知，.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，某市準備在道路EF的一側修建一條運動比賽道，賽道的前一部分為曲線段FBC．該曲線段是函數時的圖象，且圖象的最高點為B賽道的中間部分為長千米的直線跑道CD，且CD∥EF；賽道的后一部分是以為圓心的一段圓弧DE．

(1)求的值和∠DOE的大��；

(2)若要在圓弧賽道所對應的扇形ODE區(qū)域內建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個頂點在半徑OD上，另外一個頂點P在圓弧DE上，求“矩形草坪”面積的最大值，并求此時P點的位置．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數，．

（1）若函數f（x）在處有極值，求函數f（x）的最大值；

（2）是否存在實數b，使得關于x的不等式在上恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說明理由；

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，.

（1）若，判斷的奇偶性，并說明理由；

（2）若，，求在上的最小值；

（3）若，，有三個不同實根，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】將函數的圖像向左平移個單位長度，再將圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖像.

（1）求的單調遞增區(qū)間；

（2）若對于任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如果項有窮數列滿足，即，那么稱有窮數列為“對稱數列”.例如，由組合數組成的數列就是“對稱數列”.

(1)設數列是項數為7的“對稱數列”,其中成等比數列,且寫出數列的每一項；

(2)設數列是項數為的“對稱數列”，其中是公差為2的等差數列,且求取得最大值時的取值,并求最大值；

(3)設數列是項數為的對稱數列”,且滿足記為數列的前項和,若求的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若存在與正實數，使得成立，則稱函數在處存在距離為的對稱點，把具有這一性質的函數稱之為“型函數”．

（1）設，試問是否是“型函數”？若是，求出實數的值；若不是，請說明理由；

（2）設對于任意都是“型函數”，求實數的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知數列中，，且點（）在直線上.

（1）求數列的通項公式；

（2）對任意的，將數列落入區(qū)間內的項的個數記為，求的通項公式；

（3）對于（2）中，記，數列前項和為，求使等式成立的所有正整數、的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】《流浪地球》是由劉慈欣的科幻小說改編的電影，在2019年春節(jié)檔上影，該片上影標志著中國電影科幻元年的到來；為了振救地球，延續(xù)百代子孫生存的希望，無數的人前仆后繼，奮不顧身的精神激蕩人心，催人奮進.某網絡調查機構調查了大量觀眾的評分，得到如下統計表：

評分

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

頻率

0.03

0.02

0.02

0.03

0.04

0.05

0.08

0.15

0.21

0.36

（1）求觀眾評分的平均數？

（2）視頻率為概率，若在評分大于等于8分的觀眾中隨機地抽取1人，他的評分恰好是10分的概率是多少？

（3）視頻率為概率，在評分大于等于8分的觀眾中隨機地抽取4人，用表示評分為10分的人數，求的分布列及數學期望.

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