已知.
(1)求函數(shù)的最大值;
(2)設(shè),,且,證明:.
(1)0;(2)證明過程詳見解析.
解析試題分析:本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識,同時考查分析問題解決問題的綜合解題能力和計算能力.第一問,對求導,由于單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,判斷出函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值;第二問,根據(jù)第一問的結(jié)論將定義域分成2部分,當時,函數(shù)為單調(diào)遞減,所以,所以一定小于1,當時,只需證明即可,構(gòu)造新函數(shù),對求導,判斷的單調(diào)性,求出的最小值為0,所以,所以,即.
試題解析:(Ⅰ).
當時,,單調(diào)遞增;
當時,,單調(diào)遞減.
所以的最大值為. 5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當時,,. 7分
當時,等價于設(shè).
設(shè),則.
當時,,,則,
從而當時,,在單調(diào)遞減.
當時,,即.
綜上,總有. 12分
考點:1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;2.利用導數(shù)求函數(shù)的最值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中,是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的零點;
(2)若對任意均有兩個極值點,一個在區(qū)間(1,4)內(nèi),另一個在區(qū)間[1,4]外,求a的取值范圍;
(3)已知,且函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù),探究函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=lnx-a2x2+ax(aR).
(l)當a=1時,證明:函數(shù)f(x)只有一個零點;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,十)上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù) , .
(Ⅰ)當時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當時,函數(shù)在上的最大值為,若存在,使得成立,求實數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4(a∈R).
(1)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點P(1,f(1))處的切線的傾斜角為,求f(x)在[-1,1]上的最小值;
(2)若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0,求a的取值范圍.
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