Question

【題目】如圖，設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，直線：與軸交于點(diǎn)，為橢圓的長軸，已知，且，過點(diǎn)作斜率為直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) ，

（1）當(dāng)時(shí)，線段的中點(diǎn)為，過作交軸于點(diǎn)，求；

（2）求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用橢圓的性質(zhì)得出橢圓方程，根據(jù)題意得出直線的方程，直線的方程，進(jìn)而得出，由距離公式得出；

（2）設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長公式，得出，利用三角形面積公式，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論.

（1）∵, ∴，又∵，即

∴∴,

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

直線的方程為

即

聯(lián)立可得，設(shè)，

則，

所以，

直線的斜率為，直線的方程為

令，解得即

所以

（2）直線的方程為，當(dāng)時(shí)，三角形不存在

當(dāng)時(shí)，設(shè)，直線的方程為

聯(lián)立可得，設(shè)

，解得或

，

點(diǎn)到直線的距離

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)（此時(shí)適合于△＞0的條件）取等號,

所以當(dāng)時(shí)，直線為時(shí)，面積取得最大值為.