【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上;

1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2)設(shè)數(shù)列滿足:,,求的通項(xiàng)公式;

3)在第(2)問的條件下,若對于任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

【答案】(1)(2)當(dāng)n為偶數(shù)時,;當(dāng)n為奇數(shù)時,.(3)

【解析】

1)根據(jù),討論兩種情況,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2)由(1)利用遞推公式及累加法,即可求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時的通項(xiàng)公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法,先猜想出通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.

3)分類討論,當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時,分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.

1)由題意可知,.

當(dāng),,

當(dāng),也滿足上式.

所以.

2)解法一:由(1)可知,

.

當(dāng),,

當(dāng),,所以,

當(dāng),,

當(dāng),,所以,

……

當(dāng),n為偶數(shù)

當(dāng),n為偶數(shù)所以

以上個式子相加,

.

,所以當(dāng)n為偶數(shù)時,.

同理,當(dāng)n為奇數(shù)時,

,

所以,當(dāng)n為奇數(shù)時,.

解法二:

猜測:當(dāng)n為奇數(shù)時,

.

猜測:當(dāng)n為偶數(shù)時,

.

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:

,命題成立;

假設(shè)當(dāng),命題成立;

當(dāng)n為奇數(shù)時,,

當(dāng),n為偶數(shù),

,,命題也成立.

綜上可知, 當(dāng)n為奇數(shù)時

同理,當(dāng)n為偶數(shù)時,命題仍成立.

3)由(2)可知.

①當(dāng)n為偶數(shù)時,,

所以n的增大而減小從而當(dāng)n為偶數(shù)時,的最大值是.

②當(dāng)n為奇數(shù)時,,

所以n的增大而增大,.

綜上,的最大值是1.

因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,

故實(shí)數(shù)的取值范圍是.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求的值;

(2)從口袋中隨機(jī)地摸出2個乒乓球,設(shè)表示所摸到的2個乒乓球上所標(biāo)數(shù)字之積,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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非常喜愛

喜愛

合計(jì)

城市

60

100

城市

30

合計(jì)

200

完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù),判斷是否有的把握認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所處的城市有關(guān)?

附參考公式和數(shù)據(jù):(其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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求動點(diǎn)的軌跡的方程;

過點(diǎn)作互相垂直的直線,,分別交曲線于點(diǎn),,記的面積分別為,問:是否為定值?若為定值,求出該定值;若不為定值,請說明理由.

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(Ⅱ)求二面角的余弦值.

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;;

平面異面直線所成角的正弦值是.

其中正確的結(jié)論是(

A.,B.

C.,D.,

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2)求面積的最大值.

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