(14分)(2011•陜西)設(shè)f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).
(Ⅰ)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(Ⅱ)討論g(x)與的大小關(guān)系;
(Ⅲ)求a的取值范圍,使得g(a)﹣g(x)<對(duì)任意x>0成立.

(Ⅰ)(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間;(1,+∞)是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間
(Ⅱ)
(Ⅲ)0<a<e

解析試題分析:(I)求導(dǎo),并判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、最值,即可求得結(jié)果;
(Ⅱ)通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性,半徑兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系即可.
(Ⅲ)利用(Ⅰ)的結(jié)論,轉(zhuǎn)化不等式,求解即可.
解:(Ⅰ)由題設(shè)知f(x)=lnx,g(x)=lnx+,
∴g'(x)=,令g′(x)=0得x=1,
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間.
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,
因此,x=1是g(x)的唯一值點(diǎn),且為極小值點(diǎn),
從而是最小值點(diǎn),所以最小值為g(1)=1.
(II)
設(shè),則h'(x)=﹣,
當(dāng)x=1時(shí),h(1)=0,即,
當(dāng)x∈(0,1)∪(1,+∞)時(shí),h′(1)=0,
因此,h(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,
當(dāng)0<x<1時(shí),h(x)>h(1)=0,即,
當(dāng)x>1時(shí),h(x)<h(1)=0,即
(III)由(I)知g(x)的最小值為1,
所以,g(a)﹣g(x)<,對(duì)任意x>0,成立?g(a)﹣1<,
即Ina<1,從而得0<a<e.
點(diǎn)評(píng):此題是個(gè)難題.主要考查導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力和、運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,化歸和轉(zhuǎn)化思想,分類與整合思想.其考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力.

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