在平面直角坐標(biāo)系中，長度為3的線段AB的端點A、B分別在軸上滑動，點M在線段AB上，且,
（1）若點M的軌跡為曲線C，求其方程；
（2）過點的直線與曲線C交于不同兩點E、F，N是曲線上不同于E、F的動點，求面積的最大值.

（1）C的方程是；（2）.

解析試題分析：（1）設(shè)，則.用定比分點坐標(biāo)公式可得與之間的關(guān)系式，將此關(guān)系式代入即得只含的方程，此即M的軌跡方程.（2）首先考慮直線的斜率不存在的情況，即，此時.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，，聯(lián)立，再用韋達(dá)定理即得（含k的代數(shù)式）.由題知過N的直線，且與橢圓切于N點時，最大，故設(shè)
聯(lián)立與橢圓方程得，此時.的距離即為點N到EF的距離，所以，化簡，平方后利用導(dǎo)數(shù)可得其最大值.
（1）由題知，設(shè)
有代入得，
所以曲線C的方程是        4分
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，即，此時     5分
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，
聯(lián)立，有.
      7分
由題知過N的直線，且與橢圓切于N點時，最大，故設(shè)
聯(lián)立與橢圓方程得，此時
的距離，所以
化簡       10分

設(shè)，有
，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，即時
綜上所述                  .13分.
考點：1、軌跡方程的求法；2、直線與圓錐曲線的關(guān)系；3、利用導(dǎo)數(shù)求最值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)，其中
（1）討論在其定義域上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，求取得最大值和最小值時的的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)在x＝1處有極值10，求b的值；
(2)若對于任意的a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上單調(diào)遞增，求b的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)在處取得極值－2.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求曲線在點處的切線方程.

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已知函數(shù)f(x)＝x2－1與函數(shù)g(x)＝aln x(a≠0)．
(1)若f(x)，g(x)的圖像在點(1,0)處有公共的切線，求實數(shù)a的值；
(2)設(shè)F(x)＝f(x)－2g(x)，求函數(shù)F(x)的極值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù).
（1）若在時有極值，求實數(shù)的值和的極大值；
（2）若在定義域上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x－－ln a(x>0，a>0且為常數(shù))．
(1)當(dāng)k＝1時，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并加以證明；
(2)當(dāng)k＝0時，求證：f(x)>0對一切x>0恒成立；
(3)若k<0，且k為常數(shù)，求證：f(x)的極小值是一個與a無關(guān)的常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（14分）（2011•陜西）設(shè)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（Ⅱ）討論g（x）與的大小關(guān)系；
（Ⅲ）求a的取值范圍，使得g（a）﹣g（x）＜對任意x＞0成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知曲線滿足下列條件：
①過原點；②在處導(dǎo)數(shù)為－1；③在處切線方程為.
(1) 求實數(shù)的值；
（2）求函數(shù)的極值.

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