【題目】已知點(diǎn)P( , )在橢圓E: + =1(a>b>0)上,F(xiàn)為右焦點(diǎn),PF垂直于x軸,A,B,C,D為橢圓上四個(gè)動(dòng)點(diǎn),且AC,BD交于原點(diǎn)O.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),滿足 = ,判斷kAB+kBC的值是否為定值,若是,求出此定值,并求出四邊形ABCD面積的最大值,否則請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】解:(Ⅰ)由題意可知:PF垂直于x軸,則c= , = ,即a=2b2 ,
a2﹣b2=c2=3,
則a=2,b=1,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: ;
(Ⅱ)∵ = ,4y1y2=x1x2
若直線AB的斜率不存在(或AB的斜率為0時(shí)),不滿足4y1y2=x1x2;
直線AB的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)直線方程為y=kx+m,A(x1 , y1),B(x2 , y2).
聯(lián)立 ,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0.
△=(8km)2﹣4(1+4k2)(4m2﹣4)=16(4k2﹣m2+1)>0,①
x1+x2=﹣ ,x1x2=
∵4y1y2=x1x2 , 又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
∴(4k2﹣1)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0,
即(4k2﹣1) +4km(﹣ )+4m2=0.
整理得:k=±
∵A、B、C、D的位置可以輪換,
∴AB、BC的斜率一個(gè)是 ,另一個(gè)就是﹣
∴kAB+kBC= =0,是定值.
不妨設(shè)kAB=﹣ ,則x1+x2=2m,x1x2=2(m2﹣1).
設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d,則SAOB= |AB|d= |x1﹣x2|
= = ≤1.
當(dāng)m2=1時(shí)滿足①取等號(hào).
∴S四邊形ABCD=4SAOB≤4,即四邊形ABCD面積的最大值為4.
∴四邊形ABCD面積的最大值為4.
【解析】(Ⅰ)由題意可知a=2b2 , a2﹣b2=c2=3,即可求得a和b的值,求得橢圓方程;(Ⅱ)由4y1y2=x1x2 , 當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)直線方程為y=kx+m,代入橢圓方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A,B的橫坐標(biāo)的和與積,結(jié)合4y1y2=x1x2 , 求得k,把三角形AOB的面積化為關(guān)于m的函數(shù),利用基本不等式求其最值,進(jìn)一步得到四邊形ABCD面積的最大值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí),掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:

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