【題目】已知函數(shù)f(x)= (a∈R),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x+y+1=0垂直. (Ⅰ)試比較20162017與20172016的大小,并說明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣k有兩個不同的零點x1 , x2 , 證明:x1x2>e2 .
【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)= , , 所以 ,又由切線與直線x+y+1=0垂直,
可得f′(1)=1,即 ,解得a=0.
此時 , ,
令f'(x)>0,即1﹣lnx>0,解得0<x<e;
令f'(x)<0,即1﹣lnx<0,解得x>e,
所以f(x)的增區(qū)間為(0,e),減區(qū)間為(e,+∞).
所以f>f,
即 .
2017ln2016>2016ln2017,即有20162017>20172016 .
(Ⅱ)證明:不妨設x1>x2>0,因為g(x1)=g(x2)=0,
所以化簡得lnx1﹣kx1=0,lnx2﹣kx2=0.
可得lnx1+lnx2=k(x1+x2),lnx1﹣lnx2=k(x1﹣x2),
要證明, ,即證明lnx1+lnx2>2,也就是k(x1+x2)>2.
因為 ,即證 ,
即ln > ,令 ,則t>1,即證 .
令 (t>1).
由 = ,
故函數(shù)h(t)在(1,+∞)是增函數(shù),
所以h(t)>h(1)=0,即 得證.
所以 .
【解析】(Ⅰ)求出f(x)的導數(shù),由兩直線垂直的條件:斜率相等,即可得到切線的斜率和切點坐標,進而f(x)的解析式和導數(shù),求出單調區(qū)間,可得f>f,即可得到20162017與20172016的大小;(Ⅱ)運用分析法證明,不妨設x1>x2>0,由根的定義可得所以化簡得lnx1﹣kx1=0,lnx2﹣kx2=0.可得lnx1+lnx2=k(x1+x2),lnx1﹣lnx2=k(x1﹣x2),要證明, ,即證明lnx1+lnx2>2,也就是k(x1+x2)>2.求出k,即證 ,令 ,則t>1,即證 .令 (t>1).求出導數(shù),判斷單調性,即可得證.
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點P( , )在橢圓E: + =1(a>b>0)上,F(xiàn)為右焦點,PF垂直于x軸,A,B,C,D為橢圓上四個動點,且AC,BD交于原點O.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設A(x1 , y1),B(x2 , y2),滿足 = ,判斷kAB+kBC的值是否為定值,若是,求出此定值,并求出四邊形ABCD面積的最大值,否則請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義在R上的可導函數(shù)f(x),其導函數(shù)記為f'(x),滿足f(x)+f(2﹣x)=(x﹣1)2 , 且當x≤1時,恒有f'(x)+2<x.若 ,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣∞,1]
B.
C.[1,+∞)
D.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足 .
(1)求∠ABC;
(2)若 ,D為△ABC外一點,DB=2,DC=1,求四邊形ABDC面積的最大值.
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【題目】數(shù)學上稱函數(shù)y=kx+b(k,b∈R,k≠0)為線性函數(shù).對于非線性可導函數(shù)f(x),在點x0附近一點x的函數(shù)值f(x),可以用如下方法求其近似代替值:f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x﹣x0).利用這一方法, 的近似代替值( )
A.大于m
B.小于m
C.等于m
D.與m的大小關系無法確定
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【題目】將函數(shù)f(x)=cos2x圖象向左平移φ(0<φ< )個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在區(qū)間[﹣ , ]上單調遞減,且函數(shù)g(x)的最大負零點在區(qū)間(﹣ ,0)上,則φ的取值范圍是( )
A.[ , ]
B.[ , )
C.( , ]
D.[ , )
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知F1(﹣c,0)、F2(c、0)分別是橢圓G: + =1(0<b<a<3)的左、右焦點,點P(2, )是橢圓G上一點,且|PF1|﹣|PF2|=a.
(1)求橢圓G的方程;
(2)設直線l與橢圓G相交于A、B兩點,若 ⊥ ,其中O為坐標原點,判斷O到直線l的距離是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圖1中,四邊形 ABCD是等腰梯形,AB∥CD,EF∥CD,DM⊥AB于M、交EF于點N,DN=3 ,MN= ,現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折起,記折起后C、D為C'、D'且使D'M=2 ,如圖2示.
(Ⅰ)證明:D'M⊥平面ABFE;,
(Ⅱ)若圖1中,∠A=60°,求點M到平面AED'的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥側面A1ABB1 , 且AA1=AB=2.
(1)求證:AB⊥BC;
(2)若直線AC與平面A1BC所成的角為 ,求銳二面角A﹣A1C﹣B的大小.
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