定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
lg|x-2| (x≠2)
1 (x=2)
,若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1,x2,x3,則f(x1+x2+x3)等于( 。
A、0B、l
C、3lg2D、2lg2
分析:本題研究由根的個(gè)數(shù)及函數(shù)f(x)=
lg|x-2| (x≠2)
1 (x=2)
的圖象特征研究關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1,x2,x3之間的關(guān)系,由三根之間的關(guān)系確定它們和的值,從而求出f(x1+x2+x3)的值得出正確選項(xiàng)
解答:解:由題意f(x)=
lg|x-2| (x≠2)
1 (x=2)
的圖象如下,由圖知y=1與函數(shù)f(x)=
lg|x-2| (x≠2)
1 (x=2)
有三個(gè)交點(diǎn),
∵關(guān)于x的方程f2(x)+b f(x)+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1,x2,x3
∴若關(guān)于f(x)的一元二次函數(shù)僅有一個(gè)根為f(x)=1,由圖象知,此時(shí)關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,由于函數(shù)的圖象關(guān)于x=2對稱,故此時(shí)有f(x1+x2+
x3)=f(6)=lg4=2lg2
若關(guān)于f(x)的一元二次函數(shù)僅有一個(gè)根不為f(x)=1,由圖象知,此時(shí)關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,不滿足題意;
若關(guān)于f(x)的一元二次函數(shù)有二個(gè)不同的根,由圖象知,此時(shí)關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解或五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,不滿足題意
由上討論知,f(x1+x2+x3)=2lg2
故選D
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點(diǎn)評:本題考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷,解題的關(guān)鍵是作出函數(shù)f(x)=
lg|x-2| x≠2
1         x=2
的圖象,結(jié)合一元二次方程根的情況判斷出三個(gè)根的關(guān)系,本題作出函數(shù)的圖象,考查了以助數(shù)的思想,以圖象作輔助判斷的手段是函數(shù)中研究問題時(shí)常采用的策略,要善于利用作圖工具作出標(biāo)準(zhǔn)的圖象
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
b-
2
x
 
2
x+1
 
+a
是奇函數(shù)
(1)a+b=
3
3

(2)若函數(shù)g(x)=f(
2x+1
)+f(k-x)
有兩個(gè)零點(diǎn),則k的取值范圍是
(-1,-
1
2
(-1,-
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
-2x+b2x+1+a
是奇函數(shù).
(1)求f(x)的解析式;
(2)用定義證明f(x)為R上的減函數(shù);
(3)若對任意的t∈[-1,1],不等式f(2k-4t)+f(3•2t-k-1)<0恒成立,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
-2x+12x+1+a
是奇函數(shù),則a=
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
1
|x-2|
,(x≠2)
1,(x=2)
,若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1,x2,x3,x4,x5,則x1+x2+x3+x4+x5=(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
-2x+a2x+1
是奇函數(shù).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a值;
(Ⅱ)判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性.

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