Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求實數(shù)a值；
（Ⅱ）判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）是R上的奇函數(shù)，知f（0）=0，從而求出a的值；
（Ⅱ）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）是R上的減函數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，即

-20+a

20+1

=0；
∴a=1，即f(x)=

-2x+1

2x+1

；
此時f(-x)=

-2-x+1

2-x+1

=

- 1 2x +1

1 2x +1

=

-1+2x

1+2x

=-f(x)是奇函數(shù)；
∴a的值是：a=1．
（Ⅱ）f（x）是R上的減函數(shù)，證明如下，
設(shè)x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

-2x1+1

2x1+1

-

-2x2+1

2x2+1

=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

；
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1＜2x2，
∴2（2x2-2x1）＞0，（2x1+1）（2x2+1）＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上是減函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定和證明，是基礎(chǔ)題目．