Question

已知△ABC的三邊長(zhǎng)|AB|=,|BC|=4,|AC|=1,動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足=λ+μ,且λμ=.

(1)求||最小值,并指出此時(shí)與,的夾角;
(2)是否存在兩定點(diǎn)F₁,F₂使|||-|||恒為常數(shù)k?若存在,指出常數(shù)k的值,若不存在,說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)    或   (2) 存在   k=2

解析解:(1)由余弦定理知:
cos∠ACB==⇒∠ACB=.
因?yàn)閨|²==(λ+μ)²
=λ²+16μ²+2λμ·
=λ²+16μ²+1≥3.
所以||≥,當(dāng)且僅當(dāng)λ=±1時(shí),“=”成立.
故||的最小值是,
此時(shí)<,>=<,>=或.
(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),∠ACB的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系(如圖),則A,B(2,-2),
設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/35/b/1sabe3.png" style="vertical-align:middle;" />=λ+μ,
所以⇒
再由λμ=知-y²=1,
所以,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F₁(-2,0),F₂(2,0)為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線(xiàn),
即存在兩定點(diǎn)F₁(-2,0),F₂(2,0)使|||-|||恒為常數(shù)2,即k=2.