Question

已知點P（1，2）是拋物線y²=2px上一點，過點P作斜率分別為k，-

1

k

的直線l₁，l₂分別交拋物線于異于P的A，B兩點，點Q（5，-2）．
（1）當l₁，l₂的斜率分別為2與-

1

2

時，判斷直線AB是否經過點Q；
（2）當△PAB的面積等于32

2

時，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）求出拋物線方程，利用當l₁，l₂的斜率分別為2與-

1

2

時，求出直線的方程，通過直線方程與拋物線方程聯立求出AB坐標，得到AB的方程，即可判斷直線AB是否經過點Q；
（2）利用直線PA的斜率不為0，寫出直線方程與拋物線聯立，求出A的坐標同理得到B的坐標，求出AB的斜率，設出AB的方程，求出AB的距離，P到AB的距離，利用三角形的面積公式等于△PAB的面積等于32

2

，即可求直線AB的方程．

解答： 解：（1）點P（1，2）是拋物線y²=2px上一點，代入可得p=2，
即拋物線y²=4x．

y=2x y2=4x

⇒A（0，0），

y=- 1 2 x+ 5 2 y2=4x

⇒B（25，-10）．
AB：y=-

2

5

x經過點Q．
（2）顯然k≠0.

y-2=k(x-1) y2=4x

⇒y2-

4

k

y+

8

k

-4=0
∴A(

4

k2

-

4

k

+1，

4

k

-2)．
同理，

y-2=- 1 k (x-1) y2=4x

⇒y²+4ky-8k-4=0
∴B（4k²+4k+1，-4k-2）
∴kAB=-

1

k2+k+1

=kAQ

，

直線A經過點Q，
當k=

-1± 5

2

時，結論成立，
又由△＞0得k≠±1．
設直線AB：m（y+2）x-5，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=m(y+2)+5 y2=4x

⇒y²-4my-8m-20=0，△＞0恒成立，
得

y1y2=-8m-20 y1+y2=4m

，
由△PAB的面積等于32

2

，
得

1

2

•

|4+4m|

1+m2

•

1+m2

16m2+32m+80

=32

2

∴|1+m|

m2+2m+5

=4

2

，
解得（m+1）²=4由m=1⇒k=0或k=-1舍去，
∴m=-3
∴直線AB的方程為：x+3y+1=0．

點評：熟練掌握直線與拋物線的位置關系，直線與拋物線方程聯立消去一個未知數后得到的一元二次方程的根與系數的關系，直線方程的設法是解題的關鍵．