已知數(shù)列，滿足，，且對(duì)任意的正整數(shù)，和均成等比數(shù)列.
（1）求、的值；
（2）證明：和均成等比數(shù)列；
（3）是否存在唯一正整數(shù)，使得恒成立？證明你的結(jié)論.

（1），；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：本題考查數(shù)列的求值，等比數(shù)列的證明和研究不等式的恒成立問(wèn)題.（1）通過(guò)題設(shè)條件給出的數(shù)列關(guān)系，求出數(shù)列的初始值；（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義，分別得到證明，其中應(yīng)說(shuō)明第一項(xiàng)不為零；（3）探求是否存在唯一的正整數(shù)使得恒成立分兩步求解，先通過(guò)數(shù)列，的單調(diào)性得到，再證明證整數(shù)時(shí)唯一的，求解有關(guān)數(shù)列的綜合問(wèn)題，主要是要明確解題方向，合理利用數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)化難為易，化繁為簡(jiǎn)，同時(shí)還要注意解題步驟的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性.
試題解析：（1）依題意，；
（2）證明：依題意，對(duì)任意正整數(shù)有，即，
，
又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
，又，
數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（3）由（2）得，解得，顯然，數(shù)列是單調(diào)遞增的數(shù)列，是單調(diào)遞減的數(shù)列，即存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的，有，
又令得，而，，，
，解得，即對(duì)任意的且時(shí)，，
正整數(shù)也是唯一的.
綜上所述，存在唯一的正整數(shù)，使得對(duì)任意的，有.
考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列不等式的恒成立問(wèn)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足：。
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列滿足，，，是數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)若數(shù)列為等差數(shù)列．
（ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；
（ⅱ）若數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，試比較數(shù)列 前項(xiàng)和與前項(xiàng)和的大�。�
(2)若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

(本小題12分)已知數(shù)列為首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，其公差，且成等比數(shù)列.
（1）求的通項(xiàng)公式； 
（2）設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和,求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，a32＝9a2a6.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列中，，，.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若且，，求證：使得，，成等差數(shù)列的點(diǎn)列在某一直線上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，其中、、是常數(shù).
（1）若，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，，，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）試探究、、滿足什么條件時(shí)，數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列的集合：①對(duì)任意，恒成立；②對(duì)任意，存在與n無(wú)關(guān)的常數(shù)M，使恒成立．
（1）若是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且試探究數(shù)列與集合W之間的關(guān)系；
（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且，求M的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，公比為，且，.
（1）求與；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.

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