已知無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,其中、、是常數(shù).
(1)若,,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,,,且,求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)試探究、、滿足什么條件時(shí),數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列.
(1);(2);(3),或或,.
解析試題分析:(1)已知與的關(guān)系,要求,一般是利用它們之間的關(guān)系,把,化為,得出數(shù)列的遞推關(guān)系,從而求得通項(xiàng)公式;(2)與(1)類似,先求出,時(shí),推導(dǎo)出與之間的關(guān)系,求出通項(xiàng)公式,再求出前項(xiàng)和;(3)這是一類探究性命題,可假設(shè)結(jié)論成立,然后由這個(gè)假設(shè)的結(jié)論來推導(dǎo)出條件,本題設(shè)數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列,則,,代入恒成立的等式,得
對(duì)于一切正整數(shù)都成立,所以,,,得出這個(gè)結(jié)論之后,還要反過來,由這個(gè)條件證明數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列,才能說明這個(gè)結(jié)論是正確的.在討論過程中,還要討論的情況,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/25/2/1kai83.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí),,,當(dāng)然這種情況下,不是等比數(shù)列,另外.
試題解析:(1)由,得; 1分
當(dāng)時(shí),,即 2分
所以; 1分
(2)由,得,進(jìn)而, 1分
當(dāng)時(shí),
得,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/25/8/cebmi1.png" style="vertical-align:middle;" />,所以, 2分
進(jìn)而 2分
(3)若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,
①當(dāng)時(shí),,
由,得恒成立.
所以,與數(shù)列是等比數(shù)列矛盾; 1分
②當(dāng),時(shí),,, 1分
由恒成立,
得對(duì)于一切正整數(shù)都成立
所以,或或
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,n∈N*,且a2=3,點(diǎn)(10,S10)在直線y=10x上.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=2an+2n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x2-(a-1)x-b-1,當(dāng)x∈[b, a]時(shí),函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=f(n).
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),Tn=b1+b2++bn,若Tn>2m,求m的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列,滿足,,且對(duì)任意的正整數(shù),和均成等比數(shù)列.
(1)求、的值;
(2)證明:和均成等比數(shù)列;
(3)是否存在唯一正整數(shù),使得恒成立?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列具有性質(zhì):①為正數(shù);②對(duì)于任意的正整數(shù),當(dāng)為偶數(shù)時(shí),;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),
(1)若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若成等差數(shù)列,求的值;
(3)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
等差數(shù)列中,,公差,且它的第2項(xiàng),第5項(xiàng),第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列的第2項(xiàng),第3項(xiàng),第4項(xiàng).
(Ⅰ)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列對(duì)任意自然數(shù)均有成立,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列中,且點(diǎn)在直線上。
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若函數(shù)求函數(shù)的最小值;
(3)設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和.試問:是否存在關(guān)于的整式,使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)恒成立?若存在,寫出的解析式,并加以證明;若不存在,試說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)時(shí),其前n項(xiàng)和滿足.
(Ⅰ)求Sn的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(II)設(shè)等比數(shù)列,若,求數(shù)列的前項(xiàng)和
(Ⅲ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和
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