【題目】如圖所示,某村積極開展“美麗鄉(xiāng)村生態(tài)家園”建設(shè),現(xiàn)擬在邊長為1千米的正方形地塊ABCD上劃出一片三角形地塊CMN建設(shè)美麗鄉(xiāng)村生態(tài)公園,給村民休閑健身提供去處.點M,N分別在邊AB,AD上. (Ⅰ)當(dāng)點M,N分別是邊AB,AD的中點時,求∠MCN的余弦值;
(Ⅱ)由于村建規(guī)劃及保護生態(tài)環(huán)境的需要,要求△AMN的周長為2千米,請?zhí)骄俊螹CN是否為定值,若是,求出此定值,若不是,請說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)當(dāng)點M,N分別是邊AB,AD的中點時,設(shè)∠DCN=∠BCM=θ, CD=BC=1,DN=BM= ,CN=CM= ,sinθ= ,cosθ= ,∠MCN= ﹣2θ,
所以cos∠MCN=cos( ﹣2θ)=sin2θ=2sinθcosθ= ,
所以∠MCN的余弦值是 .
(Ⅱ)設(shè)∠BCM=α,∠DCN=β,AM=x,AN=y,則BM=1﹣x,DN=1﹣y,
在△CBM中,tanα=1﹣x,在△CDN中,tanβ=1﹣y,
所以:tan(α+β)= = = ,(*)
△AMN的周長為2千米,所以x+y+ =2,化簡得xy=2(x+y)﹣2,
代入(*)式,可得tan(α+β)= = = =1,
所以α+β= ,所以∠MCN是定值,且∠MCN= .
【解析】(Ⅰ)設(shè)∠DCN=∠BCM=θ,由題意利用勾股定理可求CN=CM= ,從而可求sinθ= ,cosθ= ,∠MCN= ﹣2θ,利用誘導(dǎo)公式,二倍角公式即可求∠MCN的余弦值.(Ⅱ)設(shè)∠BCM=α,∠DCN=β,AM=x,AN=y,可求BM=1﹣x,DN=1﹣y,tanα=1﹣x,tanβ=1﹣y,可得tan(α+β)= ,由x+y+ =2,化簡得xy=2(x+y)﹣2,求得tan(α+β)=1,即可得解∠MCN是定值,且∠MCN= .
【考點精析】利用兩角和與差的正切公式對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知兩角和與差的正切公式:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥平面ABC,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1=1,E,F(xiàn)分別是CC1 , BC的中點.
(Ⅰ)求證:B1F⊥平面AEF;
(Ⅱ)求三棱錐E﹣AB1F的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱臺中, 與分別是棱長為1與2的正三角形,平面平面,四邊形為直角梯形, , , 為中點, .
(Ⅰ)是否存在實數(shù)使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由;
(Ⅱ)在 (Ⅰ)的條件下,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】有下列四個說法:
①若函數(shù)f(x)=asinx+cosx(x∈R)的圖象關(guān)于直線x= 對稱,則a= ;
②已知向量 =(1,2), =(﹣2,m),若 與 的夾角為鈍角,則m<1;
③當(dāng) <α< 時,函數(shù)f(x)=sinx﹣logax有三個零點;
④函數(shù)f(x)=xsinx在[﹣ ,0]上單調(diào)遞減,在[0, ]上單調(diào)遞增.
其中正確的是(填上所有正確說法的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中, ).
(Ⅰ)當(dāng)時,若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)的圖象在兩點、處的切線分別為、,若, ,且,求實數(shù)的最小值.
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【題目】將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次,若第一次朝上一面的點數(shù)為a,第二次朝上一面的點數(shù)為b,則函數(shù)y=ax2﹣2bx+1在(﹣∞,2]上為減函數(shù)的概率是 .
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【題目】為了培養(yǎng)學(xué)生的安全意識,某中學(xué)舉行了一次安全自救的知識競賽活動,共有800 名學(xué)生參加了這次競賽.為了解本次競賽的成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù),滿分為100 分)進行統(tǒng)計,得到如下的頻率分布表,請你根據(jù)頻率分布表解答下列問題:
序號 | 分組 | 組中值 | 頻數(shù) | 頻率 |
1 | [60,70) | 65 | ① | 0.10 |
2 | [70,80) | 75 | 20 | ② |
3 | [80,90) | 85 | ③ | 0.20 |
4 | [90,100) | 95 | ④ | ⑤ |
合計 | 50 | 1 |
(1)求出頻率分布表中①、②、③、④、⑤的值;
(2)為鼓勵更多的學(xué)生了解“安全自救”知識,成績不低于85分的學(xué)生能獲獎,請估計在參加的800名學(xué)生中大約有多少名學(xué)生獲獎?
(3)在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中,有一項指標(biāo)計算的程序框圖如圖所示,則該程序的功能是什么?求輸出的S的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,所有棱長均為2,O是底面正方形ABCD中心,E為PC中點,則直線OE與直線PD所成角為( )
A.30°
B.60°
C.45°
D.90°
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