【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥平面ABC,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1=1,E,F(xiàn)分別是CC1 , BC的中點.
(Ⅰ)求證:B1F⊥平面AEF;
(Ⅱ)求三棱錐E﹣AB1F的體積.
【答案】證明:(Ⅰ)由條件知AF⊥平面CCBB1 , ∴AF⊥B1F, 由∠BAC=90°,且AB=AA1=1,得 ,EF= , ,
∴ ,即B1F⊥EF,又∵EF∩AF=F,
∴B1F⊥平面AEF;
(Ⅱ)解:由已知可得,AF= ,且由(Ⅰ)知AF⊥FE,
∴ ,
∴ .
【解析】(Ⅰ)證明AF⊥B1F,B1F⊥EF,然后證明B1F⊥平面AEF;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,B1F⊥平面AEF,然后利用等積法求得三棱錐E﹣AB1F的體積.
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的判定,需要了解一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(ex , lnx+k), =(1,f(x)), ∥ (k為常數(shù),e是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與y軸垂直,F(xiàn)(x)=xexf′(x).
(1)求k的值及F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知函數(shù)g(x)=﹣x2+2ax(a為正實數(shù)),若對任意x2∈[0,1],總存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且 asinA=( b﹣c)sinB+( c﹣b)sinC.
(1)求角A的大。
(2)若a= ,cosB= ,D為AC的中點,求BD的長.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2cos2(x﹣ )﹣ sin2x+1
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當x∈( , )時,若f(x)≥log2t恒成立,求 t的取值范圍.
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【題目】2017年某市街頭開始興起“mobike”、“ofo”等共享單車,這樣的共享單車為很多市民解決了最后一公里的出行難題.然而,這種模式也遇到了一些讓人尷尬的問題,比如亂停亂放,或?qū)⒐蚕韱诬囌紴椤八接小钡龋疄榇,某機構(gòu)就是否支持發(fā)展共享單車隨機調(diào)查了50人,他們年齡的分布及支持發(fā)展共享單車的人數(shù)統(tǒng)計如下表:
年齡 | ||||||
受訪人數(shù) | 5 | 6 | 15 | 9 | 10 | 5 |
支持發(fā)展共享單車人數(shù) | 4 | 5 | 12 | 9 | 7 | 3 |
(Ⅰ)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下,認為年齡與是否支持發(fā)展共享單車有關(guān)系:
年齡低于35歲 | 年齡不低于35歲 | 合計 | |
支持 | |||
不支持 | |||
合計 |
(Ⅱ)若對年齡在的被調(diào)查人中隨機選取兩人,對年齡在的被調(diào)查人中隨機選取一人進行調(diào)查,求選中的3人中支持發(fā)展共享單車的人數(shù)為2人的概率.
參考數(shù)據(jù):
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式: ,其中.
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【題目】天然氣是較為安全的燃氣之一,它不含一氧化碳,也比空氣輕,一旦泄露,立即會向上擴散,不易積累形成爆炸性氣體,安全性較高,其優(yōu)點有:①綠色環(huán)保;②經(jīng)濟實惠;③安全可靠;④改善生活. 某市政府為了節(jié)約居民天然氣,計劃在本市試行居民天然氣定額管理,即確定一個居民年用氣量的標準,為了確定一個較為合理的標準,必須先了解全市居民日常用氣量的分布情況,現(xiàn)采用抽樣調(diào)查的方式,獲得了位居民某年的用氣量(單位:立方米),樣本統(tǒng)計結(jié)果如下圖表.
(1)分布求出的值;
(2)若從樣本中年均用氣量在(單位:立方米)的5位居民中任選2人作進一步的調(diào)查研究,求年均用氣量最多的居民被選中的概率(5位居民的年均用氣量均不相等).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,某村積極開展“美麗鄉(xiāng)村生態(tài)家園”建設(shè),現(xiàn)擬在邊長為1千米的正方形地塊ABCD上劃出一片三角形地塊CMN建設(shè)美麗鄉(xiāng)村生態(tài)公園,給村民休閑健身提供去處.點M,N分別在邊AB,AD上. (Ⅰ)當點M,N分別是邊AB,AD的中點時,求∠MCN的余弦值;
(Ⅱ)由于村建規(guī)劃及保護生態(tài)環(huán)境的需要,要求△AMN的周長為2千米,請?zhí)骄俊螹CN是否為定值,若是,求出此定值,若不是,請說明理由.
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