Question

f（x）=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）當(dāng)

π

6

≤x≤

π

2

時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)正弦函數(shù)的周期公式可得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（3）由

π

6

≤x≤

π

2

，可得

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，從而有sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，即可求得函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

．
∴根據(jù)正弦函數(shù)的周期公式可得：T=

2π

2

=π．
故函數(shù)f（x）的最小正周期是π．
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z，
（3）∵

π

6

≤x≤

π

2

，
∴

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴5sin（2x+

π

6

）+

7

2

∈[1，

17

2

]，
∴故當(dāng)

π

6

≤x≤

π

2

時，函數(shù)f（x）的值域[1，

17

2

]．

點評：本題主要考查了正弦函數(shù)的周期性，單調(diào)性，考查了正弦函數(shù)值域的求法，屬于基本知識的考查．