【題目】如果存在常數(shù)(),對(duì)于任意,都有成立,那么稱該函數(shù)為“函數(shù)”.
(1)分別判斷函數(shù),是否為“函數(shù)”,若不是,說明理由;
(2)若函數(shù)是“函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)記所有定義在上的單調(diào)函數(shù)組成的集合為,所有函數(shù)組成的集合為,求證:.
【答案】(1)是“函數(shù)”,不是“函數(shù)”;詳見解析(2);(3)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)的定義逐個(gè)檢驗(yàn)可得;
(2)根據(jù)題意可得恒成立,結(jié)合恒成立問題可求;
(3)結(jié)合單調(diào)函數(shù)的定義可證單調(diào)函數(shù)均為函數(shù),通過特殊函數(shù)可得函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù),所以可證結(jié)論.
(1)因?yàn)?/span>,所以,所以,故是“函數(shù)”; 因?yàn)?/span>不恒大于0,所以不是“函數(shù)”.
(2)因?yàn)楹瘮?shù)是“函數(shù)”,
所以恒成立,
當(dāng)時(shí),顯然成立;當(dāng)時(shí),需要,解之得,
綜上可得.
(3)證明:若為單調(diào)遞增函數(shù),則時(shí),都有成立;
若為單調(diào)遞減函數(shù),則時(shí),都有成立;所以單調(diào)函數(shù)一定是函數(shù),即.
反之,函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù),比如,取整函數(shù)是函數(shù),但是它不是單調(diào)函數(shù).綜上可得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖: PA⊥平面ABC,∠ACB=90°且PA=AC=BC=,則異面直線PB與AC所成角的正切值等于________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在下列命題中:
①方程表示的曲線所圍成區(qū)域面積為;
②與兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程為;
③與兩定點(diǎn)距離之和等于的點(diǎn)的軌跡為橢圓;
④與兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值等于1的點(diǎn)的軌跡為雙曲線.
正確的命題的序號(hào)是________.(注:把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)當(dāng),時(shí),證明:;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)上年度電價(jià)為元/kWh,年用電量為kWh.本年度計(jì)劃將電價(jià)降低到0.55元/ kWh到0.75元/ kWh之間,而用戶期望電價(jià)為0.40元/ kWh.經(jīng)測(cè)算,下調(diào)電價(jià)后新增用電量與實(shí)際電價(jià)與用戶的期望電價(jià)的差成反比(比例系數(shù)為),該地區(qū)電力的成本價(jià)為0.30元/ kWh.
(1)寫出本年度電價(jià)下調(diào)后,電力部門的收益與實(shí)際電價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)=,當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)仍可保證電力部門的收益比上一年至少增長(zhǎng)20%?(注:收益=實(shí)際電量×(實(shí)際電價(jià)-成本價(jià)))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】扇形AOB中心角為,所在圓半徑為,它按如圖(Ⅰ)(Ⅱ)兩種方式有內(nèi)接矩形CDEF.
(1)矩形CDEF的頂點(diǎn)C、D在扇形的半徑OB上,頂點(diǎn)E在圓弧AB上,頂點(diǎn)F在半徑OA上,設(shè);
(2)點(diǎn)M是圓弧AB的中點(diǎn),矩形CDEF的頂點(diǎn)D、E在圓弧AB上,且關(guān)于直線OM對(duì)稱,頂點(diǎn)C、F分別在半徑OB、OA上,設(shè);
試研究(1)(2)兩種方式下矩形面積的最大值,并說明兩種方式下哪一種矩形面積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為2,為棱的中點(diǎn) .
(1)證明:平面平面;
(2)是否存在平行于的動(dòng)直線,分別與棱交于點(diǎn),使得平面與平面所成的銳二面角為,若存在,求出點(diǎn)到直線的距離;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,已知圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為: (為參數(shù))
(1)求圓和直線的極坐標(biāo)方程;
(2)點(diǎn) 的極坐標(biāo)為,直線與圓相較于,求的值.
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