Question

已知函數(shù)y=f（x）定義在實(shí)數(shù)集上，且對(duì)任意x，y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y），又對(duì)任意的x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=-3．
（1）判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性．
（2）證明函數(shù)y=f（x）在R上為單調(diào)減函數(shù)．
（3）試求函數(shù)y=f（x）在[m，n]（m，n∈Z，且mn＜0）上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過賦值法，求出f（0）=0，然后利用奇偶性的定義，判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性．
（2）先根據(jù)f（x+y）=f（x）+f（y），再結(jié)合x＞1時(shí)，f（x）＜0，以及單調(diào)性的定義即可得到答案；
（3）通過（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，直接求解函數(shù)y=f（x）在[m，n]（m，n∈Z，且mn＜0）上的值域．

解答： 解：（1）令x=0，∴f（y）=f（0）+f（y），∴f（0）=0，令y=-x，則由f（x+y）=f（x）+f（y），
可得f（0）=f（x）+f（-x），∴f（x）=-f（-x），∴函數(shù)是奇函數(shù)．
（2）對(duì)任意的x＞0，都有f（x）＜0，
令x₂=x+y，x₁=y∈R，則x₂＞x₁，
∴f（x+y）=f（x）+f（y），化為f（x₂）=f（x）+f（x₁），
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴函數(shù)y=f（x）在R上為單調(diào)減函數(shù)．
（3）已知條件可知：f（n）=nf（1），f（1）=-1，f（m）=-m，f（n）=-n，函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，
函數(shù)的值域：[-n，-m]．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查用賦值法求函數(shù)值，以及靈活利用所給的恒等式證明函數(shù)的單調(diào)性，此類題要求答題者有較高的數(shù)學(xué)思辨能力，屬于較高難度的題目．