Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足6S_n+1=9a_n（n∈N⁺）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an

，證明：b₁+b₂+…+b_n＜

9

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)S_n與a_n的關(guān)系，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和即可證明不等式b₁+b₂+…+b_n＜

9

2

．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，6a₁+1=9a₁，解得a₁=

1

3

，
當(dāng)n≥2時(shí)，6S_n+1=9a_n ①，6S_n-1+1=9a_n-1 ②，
兩式相減得6a_n=9a_n-9a_n-1，
即a_n=3a_n-1，
即{a_n}是首項(xiàng)a₁=

1

3

，公比q=3的等比數(shù)列，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an=

1

3

•3n-1=3n-2；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an

，則b_n=

1

an

=(

1

3

)n-2，
則{b_n}是首項(xiàng)b₁=3，公比q=

1

3

的等比數(shù)列，
則b₁+b₂+…+b_n=

3(1-( 1 3 )n)

1- 1 3

=

9

2

[1-(

1

3

)n]＜

9

2

．
即不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的計(jì)算，要求熟練掌握等比數(shù)列的相關(guān)公式．