Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線，它與橢圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)）關(guān)系的點(diǎn)也在橢圓上，如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) ； (2)存在，

【解析】

（1）根據(jù)橢圓離心率為，得，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求解；

（2）分類討論當(dāng)斜率不存在時(shí)和斜率存在時(shí)直線是否滿足題意，聯(lián)立直線和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理用點(diǎn)的坐標(biāo)代入運(yùn)算即可求解.

解：（1）由橢圓的離心率為，得，再由點(diǎn)在橢圓上，得

解得，所以橢圓的方程為.

（2）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，假設(shè)直線存在，

當(dāng)斜率不存在時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的方程，與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)為

或，

當(dāng)時(shí)，

，

所以，，

點(diǎn)不在橢圓上；

當(dāng)時(shí)，

，

同上可得：不在橢圓上，

所以直線不合題意；

當(dāng)斜率存在時(shí)：設(shè)

，

設(shè)，由韋達(dá)定理得

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，因此得，

由，

由于點(diǎn)也在橢圓上，則

，整理得，

，即

所以

因此直線的方程為