【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意x,y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒為0,
(1)求f(1)和f(﹣1)的值;
(2)試判斷f(x)的奇偶性,并加以證明;
(3)若x≥0時f(x)為增函數(shù),求滿足不等式f(x+1)﹣f(2﹣x)≤0的x取值集合.

【答案】
(1)解:令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)=2f(1),

∴f(1)=0,

令x=y=﹣1,得f(1)=f(﹣1)+f(﹣1)=2f(﹣1)=0,

∴f(﹣1)=0


(2)解:令y=﹣1,則f(﹣x)=f(x)+f(﹣1)=f(x),

∴f(﹣x)=f(x)

∴f(x)是偶函數(shù)


(3)解:由式f(x+1)﹣f(2﹣x)≤0得式f(x+1)≤f(2﹣x),

由(2)函數(shù)是偶函數(shù),

則不等式等價為f(|x+1|)≤f(|2﹣x|),

∵x≥0時f(x)為增函數(shù),

∴不等式等價為|x+1|≤|2﹣x|,

平方得x2+2x+1≤x2﹣4x+4,

即6x≤3,即x≤ ,

即滿足不等式f(x+1)﹣f(2﹣x)≤0的x取值集合為(﹣∞, ]


【解析】(1)利用賦值法即可求f(1)、f(﹣1)的值;(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明f(x)是偶函數(shù);(3)根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可.

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