Question

已知矩形ABCD，AB=1，BC=x，將△ABD沿矩形對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中，則（　�。�

A．?x∈（0，2），都存在某個位置，使得AB⊥CD

B．?x∈（0，2），都不存在某個位置，使得AB⊥CD

C．?x＞1，都存在某個位置，使得AB⊥CD

D．?x＞1，都不存在某個位置，使得AB⊥CD

Answer 1

建立如圖所示的空間直角坐標系，B（0，0，0），C（0，x，0），D（1，x，0）．
假設(shè)將△ABD沿矩形對角線BD所在的直線進行翻折時存在某個位置A₁BD，（A₁是點A翻折后的位置），使得AB⊥CD．
又∵BA₁⊥A₁D，∴BA₁⊥平面A₁CD．
設(shè)A₁（a，b，c），則

BA1

=（a，b，c），

CD

=(1，0，0)，

A1D

=（1-a，x-b，-c）．
由

BA1

•

A1D

=0，

BA1

•

CD

=0，得到

a(1-a)+b(x-b)-c2=0 a(1-a)=0

，得到

a=0 bx=b2+c2

或

a=1 bx=b2+c2

．
①當a=1時，此時矩形變?yōu)檎�方形，點A₁與C重合，滿足AB⊥CD；
②當a=0時，點A₁位于yoz坐標平面內(nèi)，此時，b²+c²=1，0＜b＜1，∴x=

1

b

＞1．
綜上可知：當x≥1時，將△ABD沿矩形對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中，使得AB⊥CD．
故選C．