點A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=
2
，AC=2，若四面體ABCD的體積的最大值為
2
3
，則這個球的表面積為（　�。�
A．
125
6
π		B．8πC．
25
4
π		D．
25
16
π
根據(jù)題意知，△ABC是一個直角三角形，其面積為1．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點上，設(shè)小圓的圓心為Q，
若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時體積最大，
所以，DQ與面ABC垂直時體積最大，最大值為
1
3
×S△ABC×DQ=
2
3
，
即
1
3
×1×DQ=
2
3
，∴DQ=2，如圖．
設(shè)球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，
OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（2-R）2，∴R=
5
4

則這個球的表面積為：S=4π（
5
4
）2=
25
4
π；
故選C．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知正四面體ABCD的棱長為2，所有與它的四個頂點距離相等的平面截這個四面體所得截面的面積之和是
（　�。�
A．3+
3
B．4C．3D．
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=
2
a，BC=CA=AA1=a，且A1O⊥平面ABC，點O在AC上且為AC中點，求此三棱柱的側(cè)面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

三個球半徑的比為1：2：3，那么最大的球的體積是剩下兩個球的體積和的（　　）
A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知四面體ABCD中，BD=
3
，BC=DC=1，其余棱長均為2，且四面體ABCD的頂點A、B、C、D都在同一個球面上，則這個球的表面積是（　　）
A．
2π
3
B．
4π
3
C．
8π
3
D．
16π
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知一個邊長為1的正方體的8個頂點都在同一球面上，則該球的直徑為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

長方體的三條棱長分別為1，
2
，
6
，則此長方體外接球的體積與表面積之比為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，截去三個角A-BDA1，C-BDC1，B1-BA1C1后形成的幾何體的體積與原正方體的體積之比值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知矩形ABCD，AB=1，BC=x，將△ABD沿矩形對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中，則（　�。�
A．?x∈（0，2），都存在某個位置，使得AB⊥CD
B．?x∈（0，2），都不存在某個位置，使得AB⊥CD
C．?x＞1，都存在某個位置，使得AB⊥CD
D．?x＞1，都不存在某個位置，使得AB⊥CD

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